Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 1-ші лига (7-8 сыныптар)

Есеп №1. Али

$A$ нүктесінен

$B$ нүктесіне жеткісі келеді. Жол бойында оған боялған жерге басуға болмайды, ал қалған жердің кез келген жерімен жүруге рұқсат (сур. қара). Оған тек қана тор сызықтарының боймен ғана емес, басқа да жерлермен жүруге болады. Алиге ең қысқа жолдың суретін салып, сол жолдың ұзындығын тауып беріңіз.

комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$AC > AB$ және

$\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер.

$AC$ кесіндісінен

$X$ , ал

$\omega$ шеңберінен

$Y$ нүктелері

$CX=CY=AB$ болатындай алынған (

$A$ мен

$Y$ нүктелері

$BC$ түзуінің екі жағында орналасқан).

$XY$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$P$ нүктеде қияды.

$PB=PC$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында ешқандай екі қабырға параллель емес. Төртбұрыштың барлық мүмкін екі көрші қабырғасын алып, оларға параллелограмм салған. Пайда болған жаңа төрт нүктенің тек біреуі ғана

$ABCD$ -ның ішінде жатқанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Тік бұрышты

$ABC$ үшбұрышында (

$\angle{A}=90^\circ$ )

$BC$ кесіндісінің орта перпендикуляры

$AC$ түзуін

$K$ , ал

$BK$ кесіндісінің орта перпендикуляры

$AB$ түзуін

$L$ нүктеде қияды. Егер

$CL$ кесіндісі —

$ABC$ үшбұрышында

$C$ бұрышының ішкі биссектрисасы болса, онда

$B$ мен

$C$ бұрыштарының барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышы келесі қасиеттерге ие:

$\angle{ADC}=135^\circ$ және

$\angle{ADB}-\angle{ABD}=2\angle{DAB}=4\angle{CBD}$ . Егер

$BC=\sqrt{2} CD$ болса,

$AB=BC+AD$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение