Processing math: 100%

3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, первая лига, 7-8 классы


В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. На каждой паре соседних сторон четырёхугольника ABCD построили параллелограммы. Докажите, что среди четырех новых точек ровно одна лежит внутри четырёхугольника ABCD.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 месяца 19 дней назад #

Пусть каждая из попарных сумм двух соседних углов 4-хугольника ABCD меньше 180, тогда удвоенная сумма сумма углов ABCD меньше 720. Противоречие. Рассмотрим сторону AB (Б.О.О) к которой примыкают углы A+B>180. Заметим, что прямые, сонаправленные AB в точках C и D содержат между собой отрезок CD, поэтому одна из прямых будет пересекать внутренность ABCD. Значит одна точка из условия априори лежит внутри ABCD. Пусть есть еще одна точка. Не трудно понять, что точки, соответствующие одной диагонали (то есть точки, образованные параллелограммами с общей диагональю; иначе: противоположные вершины) не могут оба лежать внутри. Истинно, пусть они лежат, но тогда центральная симметрия в середине диагонали с данными точками и их образами воплотит параллелограмм, а он то точно не будет полностью прилежать внутренности ABCD. Пусть это будут соседние точки A и B. Стоит обратить внимание, что в данном случае обе величины A+D и B+C будут больше 180. Противоречие. Задача решена.