Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 1-ші лига (7-8 сыныптар)

Дөңес $ABCD$ төртбұрышында ешқандай екі қабырға параллель емес. Төртбұрыштың барлық мүмкін екі көрші қабырғасын алып, оларға параллелограмм салған. Пайда болған жаңа төрт нүктенің тек біреуі ғана $ABCD$-ның ішінде жатқанын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть каждая из попарных сумм двух соседних углов 4-хугольника $ABCD$ меньше $180^\circ$, тогда удвоенная сумма сумма углов $ABCD$ меньше $720^\circ$. Противоречие. Рассмотрим сторону $AB$ (Б.О.О) к которой примыкают углы $\angle A + \angle B > 180^\circ$. Заметим, что прямые, сонаправленные $AB$ в точках $C$ и $D$ содержат между собой отрезок $CD$, поэтому одна из прямых будет пересекать внутренность $ABCD$. Значит одна точка из условия априори лежит внутри $ABCD$. Пусть есть еще одна точка. Не трудно понять, что точки, соответствующие одной диагонали (то есть точки, образованные параллелограммами с общей диагональю; иначе: противоположные вершины) не могут оба лежать внутри. Истинно, пусть они лежат, но тогда центральная симметрия в середине диагонали с данными точками и их образами воплотит параллелограмм, а он то точно не будет полностью прилежать внутренности $ABCD$. Пусть это будут соседние точки $A$ и $B$. Стоит обратить внимание, что в данном случае обе величины $\angle A + \angle D$ и $\angle B + \angle C$ будут больше $180^\circ$. Противоречие. Задача решена.