17-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2017 жыл

Есеп №1. Шексіз ақ төр қағазда өлшемі $12\times 12$ болатын $Q$ квадраты алынған. Петя осы квадраттың шаршыларын (міндетті түрде барлығын емес) жеті түстің біреуіне (әр шаршыны тек бір түспен ғана) келесі шарт орындалатындай бояғысы келеді: центрі $Q$-да жататын, үш шаршыдан құралған 288 тіктөртбұрыштың ешқандай екеуі бірдей боялмаған болу керек.
(Егер екі үшшаршылы тіктөртбұрышты жылжыту арқылы (мүмкін бұру арқылы) екінші үшшаршылы тіктөртбұрышпен сәйкес шаршыларының түстері бірдей болатындай беттестіріп қоюға болса, онда осы екі тіктөртбұрыштар бірдей боялған болып саналады.) ( И. Богданов )
комментарий/решение

---

Есеп №2. $ABCD$ төртбұрышы $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Төртбұрыштың $AC$ және $BD$ диагональдары $O$ нүктесінде қиылысады. $AO$ және $DO$ кесінділерінде сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелері белгіленген. $EF$ түзуі $\omega $-ны ${{E}_{1}}$ және ${{F}_{1}}$ нүктелерінде қияды. $ADE$ және $BCF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $EF$ түзуін сәйкесінше ${{E}_{2}}$ және ${{F}_{2}}$ нүктелерінде қияды ($E$, $F$, $E_1$, $F_1$, $E_2$ және $F_2$ нүктелерінің барлығы әртүрлі деп санаңыздар). ${{E}_{1}}{{E}_{2}}={{F}_{1}}{{F}_{2}}$ екенін дәлелдеңіздер. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4)

---

Есеп №3. $[1,{{10}^{6}}]$ аралығында жатқан кез келген 42 сандардың ішінен, сол сандардың кез келген $\left( a,b,c,d \right)$ орын ауыстыруы үшін $$25\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)\ge 16{{\left( ac+bd \right)}^{2}}$$ теңсіздігі орындалатындай төрт сан таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $p=9k+1$ саны — жай сан, бұл жерде $k$ — натурал сан. ${{n}^{3}}-3n+1$ саны $p$-ға бөлінетіндей бүтін $n$ санының табылатынын дәлелдеңіздер. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(1)

---