қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2016-2017 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. 10 бегунов стартуют одновременно: пятеро в синих майках с одного конца беговой дорожки, пятеро в красных майках — с другого. Их скорости постоянны и различны, причём скорость каждого бегуна больше 9 км/ч, но меньше 12 км/ч. Добежав до конца дорожки, каждый бегун сразу бежит назад, а, вернувшись к месту своего старта, заканчивает бег. Тренер ставит в блокноте галочку каждый раз, когда встречаются (лицом к лицу или один догоняет другого) двое бегунов в разноцветных майках (больше двух бегунов в одной точке за время бега не встречались). Сколько галочек поставит тренер к моменту, когда закончит бег самый быстрый из бегунов?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Приведите пример шести различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них не делится на сумму всех чисел, а произведение любых трех из них — делится.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ \parallel BC$. На биссектрисах треугольников $ABC$ и $APQ$, исходящих из вершин $B$ и $Q$, выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $XY \parallel BC$. Докажите, что $PX = CY$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Между городами страны организованы двусторонние беспосадочные авиарейсы таким образом, что от каждого города до каждого другого можно добраться (возможно, с пересадками). Более того, для каждого города $A$ существует город $B$ такой, что любой из остальных городов соединён напрямую с $A$ или с $B$. Докажите, что от любого города можно добраться до любого другого не более, чем с двумя пересадками.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)