Эйлер атындағы олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Есеп №1. Жүгіру жолының екі соңы бар. Оның бір соңынан көк майка киген бес, және екінші соңынан қызыл майка киген бес жүгірушілер бір уақытта жүгіре бастайды. Әр жүгірушілердің жылдамдықтары әртүрлі, және 9 км/сағ-тан үлкен және 12 км/сағ-тан кем. Жүгіруші жолдың екінші жағына жеткенде, бұрылып жүгіруді бастаған жерге қарай қайтадан жүгіреді де, сосын жүгіруді бастаған жерге жеткенде жүгіруін аяқтайды. Жүгіру кезінде екі әртүрлі түсті майка киген екі адам кездескен кезде (бетпе-бет немесе біреуі екіншісі қуып жеткенде), бапкер дәптеріне белгі салады (жүгіру кезінде бір нүктеде екіден көп жүгіруші кездеспеген). Ең жылдам жүгіруші жүгіруін аяқтай бергенде бапкер әдәптеріне қанша белгі салады? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Келесі шарттарды қанағаттандыратын алты әртүрлі натурал сандарға мысал келтіріңіздер: кез келген екеуінің көбейтіндісі барлық алты санның қосындысына бөлінбейді, ал кез келген үшеуінің көбейтіндісі — бөлінеді. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышының бүйір $AB$ және $AC$ қабырғаларынан $PQ \parallel BC$ болатындай сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $ABC$ және $APQ$ үшбұрыштарының $B$ және $Q $ төбелерінен шығатын биссектрисалардан $XY \parallel BC$ болатындай сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелері белгіленген. $PX = CY$ екенін дәлелдеңіздер. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Бір елдің қалаларының арасында кез келген қаладан кез келген басқа қалаға (мүмкін, басқа қала арқылы) жетуге болатындай екі бағытты тұра авиарейстер ұйымдастырылған. Сонымен қатар кез келген $A$ қаласы үшін, келесі шарттар орындалатындай $B$ қаласы бар: осы екі қаладан басқа қаладардың әрқайсысы $A$ қаласымен, немесе $B$ қаласымен тұра қосылған. Кез келген қаладан кез келген басқа қалаға ең көп дегенде екі орын ауыстыру арқылы жетуге болатынын дәлелдеңіздер. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

---