Областная олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. На доске выписаны числа 1,2,

$\ldots$ , 2016, 2017. За один шаг разрешается выбрать три идущие подряд числа

$a$ ,

$b$ и

$c$ , из которых ни одно не равно 0, и заменить их на тройку чисел

$b-1$ ,

$c-1$ ,

$a-1$ в указанном порядке. Какую наименьшую сумму записанных на доске чисел можно получить, делая такие шаги?
комментарий/решение(3)

Задача №2. В остроугольном треугольнике

$ABC$ сторона

$AB$ больше стороны

$AC$ . На стороне

$AB$ выбрана такая точка

$D$ , что

$\angle ACD=\angle CBD$ . Точка

$E$ — середина отрезка

$BD$ , а

$S$ — центр окружности, описанной около треугольника

$BCD$ . Докажите, что точки

$A$ ,

$E$ ,

$S$ и

$C$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(4)

Задача №3. Дана последовательность

${{x}_{n}}~\left( n=1,2,\ldots \right)$ , в которой

${{x}_{1}}=0.$ Известно, что для всех целых

$n > 1$

${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+\left[ \dfrac{{{n}^{2}}}{4} \right].$ (Здесь

$\left[ a \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее

$a$ ). Определите все значения

$n$ , при которых

${{x}_{n}}$ делится на

$n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. В компьютерной сети 2017 компьютеров. Любые два компьютера соединены кабелем. Из-за перегрузок в сети периодически перегорает один из кабелей в некоторой части сети, образующей цикл из четного числа компьютеров. Может ли через какое-то время остаться ровно 2016 целых кабелей, если ни один из перегоревших кабелей не ремонтируется?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Докажите, что для всех положительных чисел

$a,b,c$ справедливо неравенство

$\dfrac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ac}+\dfrac{{{b}^{2}}}{3{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab}+\dfrac{{{c}^{2}}}{3{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2bc}\le \dfrac{1}{2}.$
комментарий/решение(4)

Задача №6. Дан треугольник

$ABC$ . Пусть

$O$ — центр его описанной окружности,

${{B}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ — середины сторон

$AC$ и

$AB$ соответственно. Среди окружностей, которые содержат вершину

$A$ и точку

$O$ , но не проходят через точки

${{B}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ выберем окружность. Пусть эта окружность пересекает прямые

$O{{B}_{1}}$ и

$O{{C}_{1}}$ соответственно в точках

$K$ и

$L$ . Докажите, что отношение

$K{{B}_{1}}$ к

$L{{C}_{1}}$ не зависит от выбора окружности.
комментарий/решение(2)