Областная олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс

Докажите, что для всех положительных чисел $a,b,c$ справедливо неравенство $\dfrac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ac}+\dfrac{{{b}^{2}}}{3{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab}+\dfrac{{{c}^{2}}}{3{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2bc}\le \dfrac{1}{2}.$

Комментарий/решение

Используем неравенство $3a^2+b^2+2ac=2a^2+a^2+b^2+2ac\geq 2a^2+2ab+2ac.$ Используя это, можно получить следующие неравенства, и сумма этих трех дает требуемое.

$$\dfrac{a^2}{2a^2+a^2+b^2+2ac}\leq \dfrac{a^2}{2a^2+2ab+2ac} = \dfrac{a}{2(a+b+c)}.$$

$$\dfrac{b^2}{2b^2+b^2+c^2+2ab}\leq \dfrac{b^2}{2b^2+2ab+2bc} = \dfrac{b}{2(a+b+c)}.$$

$$\dfrac{c^2}{2c^2+c^2+a^2+2bc}\leq \dfrac{c^2}{2c^2+2bc+2ac} = \dfrac{c}{2(a+b+c)}.$$

$$\dfrac{a^2}{3a^2+b^2+2ac} + \dfrac{b^2}{3b^2+c^2+2ab} + \dfrac{c^2}{3c^2+a^2+2bc} \leq$$

$$\leq \dfrac{a}{2(a+b+c)}+\dfrac{b}{2(a+b+c)}+\dfrac{c}{2(a+b+c)}$=$\dfrac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\dfrac{1}{2}.$$

Ты поменял знаки неравенства

убери доллары