Processing math: 28%

Областная олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс


Дана последовательность xn (n=1,2,), в которой x1=0. Известно, что для всех целых n>1 xn=xn1+[n24]. (Здесь [a] означает наибольшее целое число, не превосходящее a). Определите все значения n, при которых xn делится на n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
3 года 1 месяца назад #

Ответ :n=1,3

Для решения нам понадобится следующий факт:

n24={n24,2nn214,2

Отсюда выходит явная формула для x_{n},

x_{n} = \sum_{i = 1}^n \left \lfloor \frac{i^2}{4} \right \rfloor = \left\{ \begin{gathered} \frac{n^2}{4} + \frac{(n - 1)^2 - 1}{4} + \ldots + \frac{2^2}{4} + \frac{1^2 -1 }{4}, 2 \mid n \\ \frac{n^2 - 1}{4} + \frac{(n-1)^2}{4} + \ldots + \frac{1^2 - 1}{2}, 2\nmid n \end{gathered}\right. \iff \left\{ \begin{gathered} \frac{\sum_{i = 1}^n (i^2) - \frac{n}{2}}{4}, 2 \mid n \\ \frac{\sum_{i = 1}^n (i^2) - \frac{n+1}{2}}{4}, 2\nmid n \end{gathered}\right. \iff

\left\{ \begin{gathered} \frac{\frac{n(n+1)(2n + 1)}{6} - \frac{n}{2}}{4}, 2 \mid n \\ \frac{\frac{n(n+1)(2n + 1)}{6} - \frac{n + 1}{2}}{4}, 2\nmid n \end{gathered}\right. \iff \left\{ \begin{gathered} \frac{n(2n^2 + 3n - 2)}{24}, 2 \mid n \\ \frac{n(2n^2 + 3n - 2) - 3}{24}, 2\nmid n \end{gathered}\right.

Разберем отдельно 2 \nmid n и 2 \mid n

1. 2 \nmid n

Тогда n \mid \frac{n(2n^2 + 3n - 2) - 3}{24} \implies n \mid (n(2n^2 + 3n - 2) - 3) \implies n \mid 3 \implies n = 1, 3

Если n = 1: 1 \mid x_{1} = 0 - подходит

Если n = 3: 3\mid x_{3} = 3 - подходит

2. 2 \mid n

n \mid \frac{n(2n^2 + 3n - 2)}{24} \iff i) 3 \mid 2n^2 + 3n - 2 ii) 8 \mid 2n^2 + 3n - 2 - выполняются одновременно. Поймем по отдельности

i)

n \equiv 0 (mod 3) \implies 2n^2 + 3n - 2 \equiv 1 \not\equiv 0 (mod 3)

n \equiv 1(mod 3) \implies 2n^2 + 3n - 2 \equiv 0 (mod 3) - подходит

n \equiv 2 (mod 3) \implies 2n^2 + 3n - 2 \equiv 0 (mod 3) - подходит

ii) Так как 2 \mid n, то достаточно перебрать только четные остатки

n \equiv 0 (mod 8) \implies 2n^2 + 3n - 2 \equiv 6 \not\equiv 0 (mod 8)

n \equiv 2 (mod 8) \implies 2n^2 + 3n - 2 \equiv 4 \not\equiv 0 (mod 8)

n \equiv 4 (mod 8) \implies 2n^2 + 3n - 2 \equiv 2 \not\equiv 0 (mod 8)

n \equiv 6 (mod 8) \implies 2n^2 + 3n - 2 \equiv 0 \implies n \equiv 6 (mod 8)

Так как i) n \equiv 1, 2 (mod 3) ii) n \equiv 6 (mod 8) \implies \nexists n \in \mathbb{N} : n \mid x_{n}

  1
2 года 11 месяца назад #

у тебя есть ошибка, посмотри моё решение этой задачи в 11-классе