Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный жыл, III тур дистанционного этапа

Есеп №1. Мұғалім тақтаға $ABCD$ тіктөртбұрышын салды. Петя осы тіктөртбұрышты $AB$-ға параллель түзумен екі тіктөртбұрыштарға бөлді. Сол тіктөртбұрыштардың аудандарының қатынасы 1:2 қатынасына тең, ал периметірлерінің қатынасы 3:5 қатынасындай болып шыққан (қатынасты сол ретпен алған). Ал Вася осы тіктөртбұрышты $BC$-ға параллель түзумен екі тіктөртбұрыштарға бөлді. Жаңадан пайда болған екі бөлік аудандарының қатынасы да 1:2 қатынасына тең. Онда олардың периметірлерінің қатынасы неге тең?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $BC$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынған. $KM$ және $KP$ — сәйкесінше $AKB$ және $AKC$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $BMPK$ төртбұрышының $MK$ диагоналі төртбұрышты тең екі үшбұрышқа бөлетіні белгілі. $M$ нүктесі — $AB$ кесіндісінің ортасы екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Келесі ребусты шешіңіз: УХА = ЕКОЕ(УХ, УА, ХА). Бұл жерде У, Х, А — үш іртүрлі цифрлар. Екі және үштаңбалы сандар нөльден бастала алмайды. Бірнеше санның ЕКОЕ-гі деп, олардың әрқайсысына бөлінетін натурал сандардың ең кішісін айтамыз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Салмақтары 2, 3, 4 және 5 кг болатын 28 лямзиктер (әр салмақта 7 лямзик бар) 10 кг салмақты көтере алатын ескекті қайықпен өзеннің бір жағынан екінші жағына өтті. Әр лямзиктің екіден көп емес ескені белгілі. Олай болса, өту барысында кемінде 12 лямзиктің ескенін дәлелдеңіз. Қайықта бір ғана есетін орын бар, ешкім ескекті еспесе, қайық қозғала алмайды.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Петя, төрт нүктенің барлығын да екі өзара параллель түзумен сызып тастауға болмайтындай, жазықтықта төрт нүкте белгілейді. Вася екі нүкте жұбынан өтетін түзулердің екеуін таңдап алып, олардың арасындағы бұрышты өлшейді. Сосын Вася қанша градус өлшесе, Петяға сонша рубль береді. Петя кепілді түрде ең көп дегенде қанша рубль ала алады?
комментарий/решение(1)

---