Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный год, III тур дистанционного этапа

Учительница нарисовала на доске прямоугольник $ABCD$. Ученик Петя разделил этот прямоугольник на две прямоугольника прямой, параллельной стороне $AB$. Оказалось, что площади этих частей относятся как 1:2, а периметры как 3:5 (в том же порядке). Ученик Вася разделил этот прямоугольник на две части прямой, параллельной стороне $BC$. Площади новых частей тоже относятся как 1:2. Как относятся их периметры?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 20:19.
Решение. Пусть $AB = a$, $BC = b$, и первая прямая делит сторону $BC$ на отрезки $x$, $b–x$. Тогда по условию $b–x = 2x$ и $5(x+a) = 3(b–x+a)$, откуда $b = 6a$. Пусть теперь вторая прямая делит сторону $AB$ на отрезки $y$, $a–y$. По условию $y = 2(a–y)$, то есть $y = 2a/3$. Тогда отношение периметров равно $(y+b)/(a–y+b) = 20:19$.