Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный жыл, III тур дистанционного этапа

Мұғалім тақтаға $ABCD$ тіктөртбұрышын салды. Петя осы тіктөртбұрышты $AB$-ға параллель түзумен екі тіктөртбұрыштарға бөлді. Сол тіктөртбұрыштардың аудандарының қатынасы 1:2 қатынасына тең, ал периметірлерінің қатынасы 3:5 қатынасындай болып шыққан (қатынасты сол ретпен алған). Ал Вася осы тіктөртбұрышты $BC$-ға параллель түзумен екі тіктөртбұрыштарға бөлді. Жаңадан пайда болған екі бөлік аудандарының қатынасы да 1:2 қатынасына тең. Онда олардың периметірлерінің қатынасы неге тең?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 20:19.
Решение. Пусть $AB = a$, $BC = b$, и первая прямая делит сторону $BC$ на отрезки $x$, $b–x$. Тогда по условию $b–x = 2x$ и $5(x+a) = 3(b–x+a)$, откуда $b = 6a$. Пусть теперь вторая прямая делит сторону $AB$ на отрезки $y$, $a–y$. По условию $y = 2(a–y)$, то есть $y = 2a/3$. Тогда отношение периметров равно $(y+b)/(a–y+b) = 20:19$.