Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный год, II тур дистанционного этапа

Задача №1.  Есть ли у числа $11\ldots 1$ (1000 единиц) десятизначный делитель, все цифры которого различны?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Положительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2 < b$ и $b^2 < c$ и $c^2 < a$. Докажите, что все три числа $a$, $b$ и $c$ меньше 1.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ $AD = 2$, $BC = 1$, $\angle ABD = 90^\circ$. Найдите сторону $CD$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Докажите, что число $12345678987654321^2 \cdot 987654321012345679^2$ $+$ $(12345678987654321^2+987654321012345679^2)\cdot10^{36}$ является квадратом целого числа.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Известно, что среди 100 шаров ровно 51 радиоактивный. Имеется прибор, в который можно положить два шара, и если оба радиоактивны, то загорится лампочка (а если хотя бы один из двух шаров не радиоактивен, то не загорится). Можно ли найти все радиоактивные шары, использовав прибор не более 145 раз?
комментарий/решение(1)

---