Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный год, II тур дистанционного этапа

В трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ $AD = 2$, $BC = 1$, $\angle ABD = 90^\circ$. Найдите сторону $CD$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $E$ — середина основания $AD$. Так как треугольник $ABD$ прямоугольный, $BE = AE = DE = 1$. С другой стороны, $BC = DE$ и $BC \parallel DE$, так что $BCDE$ — параллелограмм. Следовательно, $CD = BE = 1$.

$$AB\cap CD= Q\Rightarrow \triangle AQD \thicksim \triangle BCQ\Rightarrow $$

$$\Rightarrow \frac{QB}{QA}=\frac{QC}{QD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2QB=AQ \\ 2QC = QD\\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$$

$$\Rightarrow\left\{ \begin{gathered} QB=AB=x \\ QC =CD=y\\ \end{gathered} \right. $$

$$\triangle BDA: BD=z, \angle ABD=90^o\Rightarrow z^2+x^2=4$$

$$\triangle ODB: BD=z, \angle DBQ=90^o\Rightarrow z^2+x^2=4y^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 4y^2=4\Rightarrow y=CD=1$$