Леонард Эйлер атындағы IX олимпиаданың дистанционды кезеңінің 2-ші туры

Есеп №1. 1000 бірліктен құралған

$11\ldots 1$ санының барлық цифрлары әртүрлі болатын он таңбалы бөлгіші бар ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Оң

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін

$a^2 < b$ и

$b^2 < c$ және

$c^2 < a$ теңсіздіктері орындалады.

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарының әрқайсысы 1-ден кіші екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABCD$ трапециясында

$(AD \parallel BC)$

$AD = 2$ ,

$BC = 1$ ,

$\angle ABD = 90^\circ$ .

$CD$ қабырғасының ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$12345678987654321^2 \cdot 987654321012345679^2$

$+$

$(12345678987654321^2+987654321012345679^2)\cdot10^{36}$ саны натурал санның квадратына тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. 100 шардың дәл 51-і радиоактивті екені белгілі. Бізде бір аспап бар. Оған екі шар салуға болады. Егер ол шардың екеуі де радиоактивті болса, онда сол аспапта шам жанады (ал егер екі шардың кемінде біреуі радиоактивті болмаса, онда онда шам жанбайды). Аспапты 145-тен көп емес қолдану арқылы радиоактивті шарлардың барлығын табуға болады ма?
комментарий/решение(1)