Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2016 жыл

Есеп №1.

${{x}_{n+2}}={{x}_{n}}-\dfrac{1}{{{x}_{n+1}}}$ ,

${{x}_{1}}=20$ ,

${{x}_{2}}=13$ болатындай

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандар тізбегі берілген.

${{x}_{N}}=0$ болатындай натурал

$N$ саны табылады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$a$ ,

$b$ және

$c$ оң сандарының қосындысы 1-ге тең. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз

$\dfrac{1}{1+4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{c}^{2}}}\ge 2.$
комментарий/решение(9)

Есеп №3. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$A{{A}_{1}}$ ,

$B{{B}_{1}}$ және

$C{{C}_{1}}$ биіктіктері жүргізілген.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберген

$A$ және

$C$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$AC$ қабырғасының ортасы және

$ABC$ -ның ортоцентрі арқылы өтетін түзу

${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ түзуін

$F$ нүктеде қияды.

$Q$ ,

${{B}_{1}}$ және

$F$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Келесі теңдеуді натурал сандар жүйесінде шешіңіздер:

${{x}^{x}}={{y}^{3y}}$ .
комментарий/решение(1)