Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2016 год

Сумма положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна 1. Докажите неравенство $\dfrac{1}{1+4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{c}^{2}}}\ge 2.$

Комментарий/решение

Перенесем все в правую часть и добавим в обе части неравенства по единице. Затем перепишем в следующем виде:

$$1\ge \left(1-\dfrac{1}{1+4{{a}^{2}}}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+4{{b}^{2}}}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+4{{c}^{2}}}\right).$$

Если выполнить действия в каждой скобке получим:

$$1\ge \dfrac{4{{a}^{2}}}{1+4{{a}^{2}}}+\dfrac{4{{b}^{2}}}{1+4{{b}^{2}}}+\dfrac{4{{c}^{2}}}{1+4{{c}^{2}}} .$$

Используя следующее неравенство для каждого слагаемого и используя что $a+b+c=1$:

$$a \ge \dfrac{4{{a}^{2}}}{1+4{{a}^{2}}}$$

получаем требуемое.

а равенство не знаете как получить?

его не существует вроде бы

вся жизнь это обман..

по дробному КБШ получаем $\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}+\dfrac{1}{1+4c^2} \geq \dfrac{9}{3+4(a^2+b^2+c^2)}$ Докажем что $\dfrac{9}{3+4(a^2+b^2+c^2)} \geq 2$ тогда надо доказать что $a^2+b^2+c^2\leq 0.375$ от противного пусть больше тогда $a^2+b^2+c^2>0.375,a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ разбираем случай равенства тогда (т.к. выражение должно достигаться при любых $a,b,c$ мы можем взять случай равенства ) $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca >0.375$ но тогда у нас $(a+b+c)^2>1$ а должно быть равно что означает $a^2+b^2+c^2\leq 0.375$что и требовалось доказать

от факта что $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac$ не следует что $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac >0.375$, пример: $(1/2,2/5,1/10)$.

я предположил

разве если хотя бы один случай неправилен то неравенство неправильное ?

есть два варианта где больше или меньше так что я предположил что больше т.к. если хотя бы один вариант неправилен то значит что неравенство неправильно (P.S. я мог не правильно понять это так что можете объяснить если неправильно понял)

Не решайте неравенства от противного, пожалуйста. Если у вас случай от противного дает то, что противное неравенство верно при некоторых числах, то только при тех числах изначально равенство будет правильно. Из того, что противное неравенство не выполняется для ряду чисел не обозначает, что она не выполняется для всех