Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2016 год

Задача №1. Последовательность

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ такова, что

${{x}_{n+2}}={{x}_{n}}-\dfrac{1}{{{x}_{n+1}}}$ ,

${{x}_{1}}=20$ ,

${{x}_{2}}=13$ . Существует ли такой номер

$N$ , что

${{x}_{N}}=0$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Сумма положительных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ равна 1. Докажите неравенство

$\dfrac{1}{1+4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{c}^{2}}}\ge 2.$
комментарий/решение(9)

Задача №3. В остроугольном треугольнике

$ABC$ проведены высоты

$A{{A}_{1}}$ ,

$B{{B}_{1}}$ и

$C{{C}_{1}}$ . К окружности описанной вокруг треугольника

$ABC$ в точках

$A$ и

$C$ проведены касательные, пересекающиеся в точке

$Q$ . Прямая, проходящая через середину стороны

$AC$ и ортоцентр треугольника

$ABC$ пересекает прямую

${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ в точке

$F$ . Доказать, что точки

$Q$ ,

${{B}_{1}}$ и

$F$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Решите в натуральных числах уравнение

${{x}^{x}}={{y}^{3y}}$ .
комментарий/решение(1)