Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2016 год

Решите в натуральных числах уравнение ${{x}^{x}}={{y}^{3y}}$.

Комментарий/решение

$Ответ:(1,1);(8;4)$.

Так как $y$ не больше $x$ , $x=ky$ , где $k$ натуральное число. Тогда $ky^{ky}=y^{3y}$ или $k^{ky}= y^{y(3-k)}$. Это уравнение имеет решение только тогда, когда $3-k$ будет натуральным или равно 0. Тогда рассмотрим 3 варианта $k=1,2,3$. При $k=1$, $1=y^{2y}$ или $y=1$ и $x=1$. При $k=2$ , $2^{2y}=y^y$ или $y=4$ и $x=8$. При $k=3$ $3^{3y}=y^{3-3}$ и это уравнение не имеет решение.