қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Кез келген $a, b, c, d$ бүтін сандары үшін $abcd\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}-{{d}^{2}} \right)$ санының $7$-ге бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында келесі шарттар орындалады: $AB=5$, $BC=10$ және $\angle ABC=90{}^\circ $. $DEFG$ — шаршы, оның $D$ және $E$ төбелері $BC$ кесіндісінде жатады, $F$ төбесі $AC$ кесіндісінде жатады, ал $G$ төбесі центрі $A$ нүктесі болатын және $B$ нүктесі арқылы өтетін шеңбердің бойында жатады. $DEFG$ ауданын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $x, y$ оң сандары $xy=4$ қатынасын қанағаттандырады. $\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}$ өрнегінің мүмкін болар ең үлкен мәнін табыңыз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. ${{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{r}}+{{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{r}}=14$ теңдеуін рационал сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Тақтада $11$ және $13$ сандары жазылған. Бір жүрісте қандай да бір тақтада жазылған екі әр түрлі санның қосындысына тең санды жазуға болады. Бірнеше жүрістен кейін тақтада $2015$ санын алуға болама?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $ABCD$ параллелограммының диагональдары $O$ нүктесінде қиылысады, ал $\angle DAC$ және $\angle DBC$ бұрыштарының биссектрисалары $T$ нүктесінде қиылысады. $\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{TO}$ екені белгілі. $ABT$ үшбұрышының барлық бұрыштарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)