Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген

$a, b, c, d$ бүтін сандары үшін

$abcd\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}-{{d}^{2}} \right)$ санының

$7$ -ге бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында келесі шарттар орындалады:

$AB=5$ ,

$BC=10$ және

$\angle ABC=90{}^\circ$ .

$DEFG$ — шаршы, оның

$D$ және

$E$ төбелері

$BC$ кесіндісінде жатады,

$F$ төбесі

$AC$ кесіндісінде жатады, ал

$G$ төбесі центрі

$A$ нүктесі болатын және

$B$ нүктесі арқылы өтетін шеңбердің бойында жатады.

$DEFG$ ауданын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$x, y$ оң сандары

$xy=4$ қатынасын қанағаттандырады.

$\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}$ өрнегінің мүмкін болар ең үлкен мәнін табыңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №4.

${{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{r}}+{{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{r}}=14$ теңдеуін рационал сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Тақтада

$11$ және

$13$ сандары жазылған. Бір жүрісте қандай да бір тақтада жазылған екі әр түрлі санның қосындысына тең санды жазуға болады. Бірнеше жүрістен кейін тақтада

$2015$ санын алуға болама?
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$ABCD$ параллелограммының диагональдары

$O$ нүктесінде қиылысады, ал

$\angle DAC$ және

$\angle DBC$ бұрыштарының биссектрисалары

$T$ нүктесінде қиылысады.

$\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{TO}$ екені белгілі.

$ABT$ үшбұрышының барлық бұрыштарын табыңыз.
комментарий/решение(1)