Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 11 класс

Докажите, что для любых целых чисел $a,~b,~c,~d$ число $abcd\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}-{{d}^{2}} \right)$ кратно $7$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. При решении будем пользоваться тем, что если два числа дают одинаковые остатки при делении на какое-то число, то разность этих чисел делится на это число. Если среди данных чисел хотя бы одно число кратно 7, то произведение $abcd$ делится на 7. Если среди данных чисел нет кратных 7, но есть два, скажем числа $a$ и $b$, дающие одинаковые остатки при делении на 7, то их разность квадратов $a^2-b^2={(a-b)(a+b)}$ делится на 7. Пусть теперь ни одно из них не делится на 7, и все они дают разные остатки при делении на 7. Нетрудно понять, что квадрат целого числа может давать только остатки $0,1,2,4$. Поэтому среди квадратов $a^2$, $b^2$, $c^2$, $d^2$ какие-то два дают одинаковые остатки, так как квадратов четыре, а остатков у нас три, это 1, 2, 3 (остаток 0 мы не берем).

Дәлелдеуі:

1) $P = mn + r$, $q = mR + r$ болсын.

Мұндағы $P, m, q, R, r$ бүтін оң сандар.

$$P^2 = m^2n^2 + 2mnr + r^2$$

$$q^2 = m^2R^2 + 2mRr + r^2$$

$$P^2 - q^2 = m(mn^2 + 2nr - mR^2 - 2Rr)$$

Яғни, $P^2 - q^2$ саны $m$ санына қалдықсыз бөлінеді.

2) $l = mc + t$, $u = mb + d$, және $t + d = m$ делік.

$$t^2 - d^2 = (t - d)(t + d) = m(t - R)$$

Бұл жағдайда да $l^2 - u^2$ саны $m$ санына қалдықсыз бөлінеді.

Олай болса, $a^2 - b^2$, $a^2 - c^2$, $a^2 - d^2$, $b^2 - c^2$, $b^2 - d^2$, және $c^2 - d^2$ сандарының ең болмағанда біреуі $7$-ге қалдықсыз бөлінеді, өйткені $r = 1, 2, 3, 4, 5, 6$, демек қалдық осы сандардың кез-келген төртеуіне тең және $t + d = 7$ болады немесе $a, b, c, d$ сандарына қатысты $r$-дің мәні қайталанады, яғни тең қалдықтар болуы мүмкін. Мысалы, $15 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 3$, яғни $a = 15$, $b = 8$, $c = 4$, $d = 3$.

$$1)a = 15, b = 8.$$

Бұл сандарды $7$-ге бөлгенде $r = 1$ болады. Ендеше $15^2 - 8^2$ саны $7$-ге бөлінеді.

$$2)t = 4, d = 3.$$

Яғни $t + d = 7$, $4^2 - 3^2$ саны $7$-ге бөлінеді. Демек, берілген сан $7$-ге бөлінеді.