Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что для любых целых чисел

$a,~b,~c,~d$ число

$abcd\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}-{{d}^{2}} \right)$ кратно

$7$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ справедливы следующие соотношения:

$AB=5$ ,

$BC=10$ и

$\angle ABC=90{}^\circ$ .

$DEFG$ — квадрат, у которого вершины

$D$ и

$E$ лежат на отрезке

$BC$ , вершина

$F$ лежит на отрезке

$AC$ , а вершина

$G$ лежит на окружности с центром в точке

$A$ , проходящей через точку

$B$ . Найдите площадь

$DEFG$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Положительные числа

$x,~y$ удовлетворяют соотношению

$xy=4$ . Найдите наибольшее возможное значение выражения

$\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}.$
комментарий/решение(4)

Задача №4. Решите уравнение

${{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{r}}+{{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{r}}=14$ в рациональных числах.
комментарий/решение(1)

Задача №5. На доске записаны числа

$11$ и

$13$ . За один ход можно дописать одно число, равное сумме каких-то двух уже записанных на доске различных чисел. Можно ли за несколько таких ходов получить число

$2015$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Диагонали параллелограмма

$ABCD$ пересекаются в точке

$O$ , а биссектрисы углов

$\angle DAC$ и

$\angle DBC$ пересекаются в точке

$T$ . Известно, что

$\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{TO}$ . Найдите величины всех углов треугольника

$ABT$ .
комментарий/решение(1)