Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 11 класс

Положительные числа $x,~y$ удовлетворяют соотношению $xy=4$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}.$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. ${2}/{5}$.
Решение. При $x=y=2$, данное выражение равно $2/5$. Докажем, что это выражение не больше $2/5$. \[\dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{y + 3}} \leqslant \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow 5\left( {x + y + 6} \right) \leqslant 2\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right)\] \[5\left( {x + y + 6} \right) \leqslant 2\left( {xy + 3x + 3y + 9} \right) \Leftrightarrow 4 \leqslant x + y.\] Из неравенства ${\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} \geqslant 0$ следует неравенство $x+y \geq 2 \sqrt{xy}$ или $x+y \geq 4$, так как $xy=4$.

$$xy=4 \Rightarrow y=\frac{4}{x} \Rightarrow \mathbb{S}= \frac{1}{x+3}+\frac{x}{3x+4} =\frac{x^2+6x+4}{3x^2+13x+12} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 3x^2 \mathbb{S}+13x \mathbb{S}+12 \mathbb{S}= x^2+6x+4\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x^2(3 \mathbb{S}-1)+x(13 \mathbb{S}-6)+12 \mathbb{S}-4=0$$

$$\mathbb{D}=(6-13 \mathbb{S})^2-(12\mathbb{S}-4)^2\geq 0 \Rightarrow (\mathbb{S}-2)(25\mathbb{S}-10) \geq 0\Rightarrow \frac{2}{5} \leq \mathbb{S} \leq 2$$

$$max{\mathbb{S}}=2 \Rightarrow x,y\notin \mathbb{Z}^{+}$$

$$ x,y \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow max{\mathbb{S}}=\frac{2}{5}$$

Шешуі:

\a)] Жағдай. $y = \frac{4}{x}$ ($x, y > 0$).

\[\frac{1}{x+2} + \frac{x}{3x+4} = \frac{x^2+5x+4}{3x^2+10x+8}\]

\[\frac{x^2+5x+4}{x^2+2(x^2+5x+4)} = \frac{1}{\frac{x^2}{x^2+5x+4}+2} \leq \frac{1}{2}\]

$x > 0$ болғандықтан, $x \to \infty$

\[\frac{x^2}{x^2+5x+4} = \frac{1}{1+5 \cdot \frac{1}{x}+4 \cdot \frac{1}{x^2}}\]

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0\]

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{x^2+5x+4} = 1\]

Олай болса,

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{\frac{x^2}{x^2+5x+4}+2} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}\]

Сонымен,

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{y^2+5y+4}} = \frac{1}{2+4 \cdot 0} = \frac{1}{2}\]

[б)] Жағдай. $x = \frac{4}{y}$,

\[\frac{y}{2y+4} + \frac{1}{y+3} = \frac{y^2+5y+4}{2y^2+10y+12}\]

\[\frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot \frac{1}{y^2+5y+4}} \leq \frac{1}{2}\]

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{y^2+5y+4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{y^2}}{1+5 \cdot \frac{1}{y}+4 \cdot \frac{1}{y^2}} = 0\]

Демек,

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot 0} = \frac{1}{2} < \frac{1}{3}\]

Сонымен, берілген өрнектің мүмкін болар ең үлкен мәні $\frac{1}{2}$.

Жауабы: $\frac{1}{2}$

Мысал?