Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. 2/5.
Решение. При x=y=2, данное выражение равно 2/5. Докажем, что это выражение не больше 2/5.
1x+3+1y+3⩽25⇔5(x+y+6)⩽2(x+3)(y+3)
5(x+y+6)⩽2(xy+3x+3y+9)⇔4⩽x+y.
Из неравенства (√x−√y)2⩾0 следует неравенство x+y≥2√xy или x+y≥4, так как xy=4.
xy=4⇒y=4x⇒S=1x+3+x3x+4=x2+6x+43x2+13x+12⇒
⇒3x2S+13xS+12S=x2+6x+4⇒
⇒x2(3S−1)+x(13S−6)+12S−4=0
D=(6−13S)2−(12S−4)2≥0⇒(S−2)(25S−10)≥0⇒25≤S≤2
maxS=2⇒x,y∉Z+
x,y∈Z+⇒maxS=25
Шешуі:
\a)] Жағдай. y=4x (x,y>0).
1x+2+x3x+4=x2+5x+43x2+10x+8
x2+5x+4x2+2(x2+5x+4)=1x2x2+5x+4+2≤12
x>0 болғандықтан, x→∞
x2x2+5x+4=11+5⋅1x+4⋅1x2
lim
\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{x^2+5x+4} = 1
Олай болса,
\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{\frac{x^2}{x^2+5x+4}+2} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}
Сонымен,
\lim_{{x \to \infty}} \frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{y^2+5y+4}} = \frac{1}{2+4 \cdot 0} = \frac{1}{2}
[б)] Жағдай. x = \frac{4}{y},
\frac{y}{2y+4} + \frac{1}{y+3} = \frac{y^2+5y+4}{2y^2+10y+12}
\frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot \frac{1}{y^2+5y+4}} \leq \frac{1}{2}
\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{y^2+5y+4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{y^2}}{1+5 \cdot \frac{1}{y}+4 \cdot \frac{1}{y^2}} = 0
Демек,
\lim_{{x \to \infty}} \frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot 0} = \frac{1}{2} < \frac{1}{3}
Сонымен, берілген өрнектің мүмкін болар ең үлкен мәні \frac{1}{2}.
Жауабы: \frac{1}{2}
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.