Processing math: 18%

Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып


x,y оң сандары xy=4 қатынасын қанағаттандырады. 1x+3+1y+3 өрнегінің мүмкін болар ең үлкен мәнін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 2/5.
Решение. При x=y=2, данное выражение равно 2/5. Докажем, что это выражение не больше 2/5. 1x+3+1y+3 5\left( {x + y + 6} \right) \leqslant 2\left( {xy + 3x + 3y + 9} \right) \Leftrightarrow 4 \leqslant x + y. Из неравенства {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} \geqslant 0 следует неравенство x+y \geq 2 \sqrt{xy} или x+y \geq 4, так как xy=4.

  1
8 года 7 месяца назад #

xy=4 \Rightarrow y=\frac{4}{x} \Rightarrow \mathbb{S}= \frac{1}{x+3}+\frac{x}{3x+4} =\frac{x^2+6x+4}{3x^2+13x+12} \Rightarrow

\Rightarrow 3x^2 \mathbb{S}+13x \mathbb{S}+12 \mathbb{S}= x^2+6x+4\Rightarrow

\Rightarrow x^2(3 \mathbb{S}-1)+x(13 \mathbb{S}-6)+12 \mathbb{S}-4=0

\mathbb{D}=(6-13 \mathbb{S})^2-(12\mathbb{S}-4)^2\geq 0 \Rightarrow (\mathbb{S}-2)(25\mathbb{S}-10) \geq 0\Rightarrow \frac{2}{5} \leq \mathbb{S} \leq 2

max{\mathbb{S}}=2 \Rightarrow x,y\notin \mathbb{Z}^{+}

x,y \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow max{\mathbb{S}}=\frac{2}{5}

  1
1 года 2 месяца назад #

Шешуі:

\a)] Жағдай. y = \frac{4}{x} (x, y > 0).

\frac{1}{x+2} + \frac{x}{3x+4} = \frac{x^2+5x+4}{3x^2+10x+8}

\frac{x^2+5x+4}{x^2+2(x^2+5x+4)} = \frac{1}{\frac{x^2}{x^2+5x+4}+2} \leq \frac{1}{2}

x > 0 болғандықтан, x \to \infty

\frac{x^2}{x^2+5x+4} = \frac{1}{1+5 \cdot \frac{1}{x}+4 \cdot \frac{1}{x^2}}

\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0

\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{x^2+5x+4} = 1

Олай болса,

\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{\frac{x^2}{x^2+5x+4}+2} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}

Сонымен,

\lim_{{x \to \infty}} \frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{y^2+5y+4}} = \frac{1}{2+4 \cdot 0} = \frac{1}{2}

[б)] Жағдай. x = \frac{4}{y},

\frac{y}{2y+4} + \frac{1}{y+3} = \frac{y^2+5y+4}{2y^2+10y+12}

\frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot \frac{1}{y^2+5y+4}} \leq \frac{1}{2}

\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{y^2+5y+4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{y^2}}{1+5 \cdot \frac{1}{y}+4 \cdot \frac{1}{y^2}} = 0

Демек,

\lim_{{x \to \infty}} \frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot 0} = \frac{1}{2} < \frac{1}{3}

Сонымен, берілген өрнектің мүмкін болар ең үлкен мәні \frac{1}{2}.

Жауабы: \frac{1}{2}

  1
1 года 2 месяца назад #

Мысал?