Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып


x,y оң сандары xy=4 қатынасын қанағаттандырады. 1x+3+1y+3 өрнегінің мүмкін болар ең үлкен мәнін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 2/5.
Решение. При x=y=2, данное выражение равно 2/5. Докажем, что это выражение не больше 2/5. 1x+3+1y+3255(x+y+6)2(x+3)(y+3) 5(x+y+6)2(xy+3x+3y+9)4x+y. Из неравенства (xy)20 следует неравенство x+y2xy или x+y4, так как xy=4.

  1
8 года 6 месяца назад #

xy=4y=4xS=1x+3+x3x+4=x2+6x+43x2+13x+12

3x2S+13xS+12S=x2+6x+4

x2(3S1)+x(13S6)+12S4=0

D=(613S)2(12S4)20(S2)(25S10)025S2

maxS=2x,yZ+

x,yZ+maxS=25

  1
1 года 2 месяца назад #

Шешуі:

\a)] Жағдай. y=4x (x,y>0).

1x+2+x3x+4=x2+5x+43x2+10x+8

x2+5x+4x2+2(x2+5x+4)=1x2x2+5x+4+212

x>0 болғандықтан, x

x2x2+5x+4=11+51x+41x2

lim

\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{x^2+5x+4} = 1

Олай болса,

\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{\frac{x^2}{x^2+5x+4}+2} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}

Сонымен,

\lim_{{x \to \infty}} \frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{y^2+5y+4}} = \frac{1}{2+4 \cdot 0} = \frac{1}{2}

[б)] Жағдай. x = \frac{4}{y},

\frac{y}{2y+4} + \frac{1}{y+3} = \frac{y^2+5y+4}{2y^2+10y+12}

\frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot \frac{1}{y^2+5y+4}} \leq \frac{1}{2}

\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{y^2+5y+4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{y^2}}{1+5 \cdot \frac{1}{y}+4 \cdot \frac{1}{y^2}} = 0

Демек,

\lim_{{x \to \infty}} \frac{y^2+5y+4}{2(y^2+5y+4)+4} = \frac{1}{2+4 \cdot 0} = \frac{1}{2} < \frac{1}{3}

Сонымен, берілген өрнектің мүмкін болар ең үлкен мәні \frac{1}{2}.

Жауабы: \frac{1}{2}

  1
1 года 2 месяца назад #

Мысал?