Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 9 класс

Задача №1. Средняя линия трапеции делит ее площадь в отношении

$5:7$ . Найдите отношение оснований трапеции.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Два шахматиста сыграли между собой несколько партий. За победу, ничью и поражение игроку начисляется

$4$ балла,

$2$ балла и

$1$ балл, соответственно. В сумме игроки набрали

$170$ баллов. Мог ли победитель набрать ровно

$90$ баллов?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Решите систему уравнений

$\left\{ \begin{matrix} 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ 2xy-2x=-5 \\ \end{matrix} \right.$ в действительных числах.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что

$a=\sqrt{9-\sqrt{77}}\sqrt{2}\left( \sqrt{11}-\sqrt{7} \right)\left( 9+\sqrt{77} \right)$ — целое число.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Квадрат

$ABIJ$ лежит внутри правильного восьмиугольника

$ABCDEFGH$ со стороной

$1$ . Найдите длину отрезка

$CJ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6.

$A$ и

$B$ играют в игру. Ход состоит в том, что соответствующий игрок называет натуральное число, меньшее

$31$ , которое не равно ни одному из названных ранее чисел и не имеет общих делителей больше

$1$ ни с одним из названных ранее чисел. После этого ход переходит к другому игроку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает

$A$ . У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
комментарий/решение(1)