Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 9 класс

Решите систему уравнений $\left\{ \begin{matrix} 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ 2xy-2x=-5 \\ \end{matrix} \right.$ в действительных числах.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Система не имеет решений.
Решение. Сложим уравнения системы, и преобразуем полученное уравнение, получим: $$2{x^2} + {y^2} + 2xy - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} = 0.$$ Заметим, что последнее равенство возможно только при $x=1$ и $y=-x=-1$. Но эти значения не удовлетворяют ни одному уравнению исходной системы.