қазақша
русскийМатематикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры
Есеп №1. Түзу жолдың бойында орналасқан, аралары 1 км болатын бағандардың бойымен бір бағытта тұрақты жылдамдықтармен Фома мен Ерёма жүріп өтті. Бір сағат ішінде Фома бес бағанның, ал Ерёма алты бағанның жанынан өтті. Фоманың жылдамдығы Ерёманың жылдамдығынан үлкен болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Бөлмеге үш адам жиналды. Олардың әрқайсысы әрқашан да шындықты айтатын сері; немесе әрқашан өтірік айтатын өтірікші; немесе кейде шындықты айтатын, ал кейде өтірік айтатын қу адам. Жиналғандардың біреуі:
«Біздің арамызда өтірікші бар» деді;
екіншісі: «Арамыздағы кез келген екі адамның ішінде өтірікші бар»;
ал үшіншісі «Біз барлығымыз өтірікшіміз» деді.
Жиналғандардың ішінде қу адам бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
«Біздің арамызда өтірікші бар» деді;
екіншісі: «Арамыздағы кез келген екі адамның ішінде өтірікші бар»;
ал үшіншісі «Біз барлығымыз өтірікшіміз» деді.
Жиналғандардың ішінде қу адам бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $A$ төбесінен жүргізілген медиана мен биссектриса осы үшбұрыштың $BH$ биіктігін тең үш бөлікке бөле алады ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Вася алты $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ натурал сандарын жасырды. Бір рубль беріп олардың кез келген екеуін көрсетіп, сосын олардың көбейтіндісін білуге болады (мысалға екінші мен үшінші санның көбейтіндісін). Петя, жасырылған алты санның кез келген екеуі өзара жай екенін біледі (яғни 1-ден үлкен ортақ бөлгіші жоқ). Ең аз дегенде қанша ақша жұмсау арқылы Петя барлық алты санды таба алады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Игорь өлшемі $11 \times 11$ болатын тор квадраттан өлшемі ${1 \times 6}$ болатын 17 тор тіктөртбұрыштарды киып алғысы келеді. Сол 17 тіктөртбұрыштарды қалай қиып алмасан да, квадратта қиылмай қалатын бір шаршыны белгілесе болады ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)