Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, II тур дистанционного этапа

В комнате собрались три человека. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт, либо хитрец, который может и говорить правду и лгать по своему желанию. Один из собравшихся сказал: «Среди нас есть лжец». Другой сказал: «Среди любых двух из нас есть лжец». Третий сказал: «Все мы — лжецы». Докажите, что среди собравшихся есть хитрец.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Допустим, среди собравшихся нет хитреца. Тогда каждый из них — рыцарь или лжец. Третий не мог сказать правду: иначе получилось бы, что правду сказал лжец. Значит, он лжец. Тогда первый сказал правду, и он — рыцарь. Остался второй. Допустим, он солгал. Тогда он лжец, и всего среди собравшихся два лжеца: второй и третий. Но тогда среди любых двух собравшихся в самом деле есть лжец, и получается, что лжец сказал правду — противоречие. Допустим, второй сказал правду. Тогда среди собравшихся два рыцаря: первый и второй. Но в таком случае среди двоих — первого и второго — нет лжеца, и получается, что второй солгал. Снова противоречие.

Первый человек сказал правду,значит он рыцарь либо хитрец.Третий человек соврал,тогда он лжец либо хитрец.Допустим,второй соврал,тогда он лжец либо хитрец.Но,в этом случае это утверждение будет правдой.А значит это не ложь.Теперь,представим что он сказал правду;тогда среди первого и второго чела нету лжеца.Значит второй чел-хитрец.