Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур дистанционного этапа

Задача №1.  Фома и Ерёма шли с постоянными скоростями в одном направлении по дороге, вдоль которой стоят километровые столбы. За час Фома прошёл мимо пяти столбов, а Ерёма — мимо шести. Могла ли скорость Фомы быть больше скорости Ерёмы?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В комнате собрались три человека. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт, либо хитрец, который может и говорить правду и лгать по своему желанию. Один из собравшихся сказал: «Среди нас есть лжец». Другой сказал: «Среди любых двух из нас есть лжец». Третий сказал: «Все мы — лжецы». Докажите, что среди собравшихся есть хитрец.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Могут ли медиана и биссектриса, проведенные из вершины $A$ остроугольного треугольника $ABC$, делить высоту $BH$ этого треугольника на три равные части?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Вася задумал шесть натуральных чисел: $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$. За рубль можно указать любые два из них и узнать их произведение. Пете известно, что любые два из задуманных чисел взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, больших 1). За какую наименьшую сумму он сможет узнать все задуманные числа?
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Игорь хочет вырезать из клетчатого квадрата размером $11 \times 11$ 17 клетчатых прямоугольников размером $1\times 6$. Можно ли отметить в квадрате одну клеточку так, чтобы она наверняка осталась не вырезанной, как бы Игорь ни старался?
комментарий/решение(1)

---