Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2013 жыл

Есеп №1. Үстел үстінде 100 тас үйіндісі жатыр. Екі ойынша кезектесіп жүріс жасайды. Бір жүрісте, 99 үйіндіден артық емес үйінділерден кез-келген мөлшерде (нөлдік емес) тас алуға болады. Жүрісі қалмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында, кез-келген алғашқы жаңдайда, бастаған ойыншы немесе оның қарсыласы жеңетінін анықтаңыз. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$AC\parallel DF$ ,

$BD\parallel AE$ және

$CE\parallel BF$ болатын,

$ABCDEF$ дөңес алтыбұрышы берілсін.

$A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}+E{{F}^{2}}=B{{C}^{2}}+D{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №3. Кез-келген оң

$a$ және

$b$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\sqrt{ab}\le \dfrac{1}{3}\cdot \sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}.$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Көршілес төбелер әртүрлі түсті болатындай, байланысқан графтың төбелерін

$n+1$ түстен кем түске бояуға болмайды. Графтан,

$n(n-1)/2$ қабырғаны, байланысты үзбей алып тастауға болатынын дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение

Есеп №5.

$7\times 7\times 7$ кубының әрбір қыры бірлік шаршыларға бөлінсін. Кез-келген таңдалған екі шаршыда ортақ нүкте болмайтындай, ең көп дегенде неше шаршыны таңдауға болады? ( А. Чухнов )
комментарий/решение

Есеп №6.

$6\times 6$ кестесінің торларында, үлкен оң коэффициенттері бар квадрат үшмүшелер орналасқан. Барлық 108 коэфиициенттер 60-тан 47-ге дейінгі бүтін сандар (бір реттен). Кем-дегенде бір бағандағы барлық квадрат үшмүшелердің қосындысында түбір бар екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась, Ф. Петров )
комментарий/решение

Есеп №7.

${{p}^{2}}-pq-{{q}^{3}}=1$ теңдеуін жай сандар үшін шешіңіз ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$A{{A}_{1}}$ түзуі төртбұрыштың ауданын тең екіге бөлетіндей, дөңес

$ABCD$ төртбұрышының периметрінде

${{A}_{1}}$ нүктесі алынды. Ұқсас жолмен

${{B}_{1}}$ ,

${{C}_{1}}$ және

${{D}_{1}}$ нүктелері анықталды. Төбелері

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{C}_{1}}$ ,

${{D}_{1}}$ болатын дөңес төртбұрыштың ауданы,

$ABCD$ төртбұрышының ауданының төрттен бір бөлігінен артық екенін дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1)