қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2013 жыл
Есеп №1. Үстел үстінде 100 тас үйіндісі жатыр. Екі ойынша кезектесіп жүріс жасайды. Бір жүрісте, 99 үйіндіден артық емес үйінділерден кез-келген мөлшерде (нөлдік емес) тас алуға болады. Жүрісі қалмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында, кез-келген алғашқы жаңдайда, бастаған ойыншы немесе оның қарсыласы жеңетінін анықтаңыз.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $AC\parallel DF$, $BD\parallel AE$ және $CE\parallel BF$ болатын, $ABCDEF$ дөңес алтыбұрышы берілсін. $A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}+E{{F}^{2}}=B{{C}^{2}}+D{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Кез-келген оң $a$ және $b$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\sqrt{ab}\le \dfrac{1}{3}\cdot \sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}.$
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Көршілес төбелер әртүрлі түсті болатындай, байланысқан графтың төбелерін $n+1$ түстен кем түске бояуға болмайды. Графтан, $n(n-1)/2$ қабырғаны, байланысты үзбей алып тастауға болатынын дәлелдеңіз.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $7\times 7\times 7$ кубының әрбір қыры бірлік шаршыларға бөлінсін. Кез-келген таңдалған екі шаршыда ортақ нүкте болмайтындай, ең көп дегенде неше шаршыны таңдауға болады?
(
А. Чухнов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $6\times 6$ кестесінің торларында, үлкен оң коэффициенттері бар квадрат үшмүшелер орналасқан. Барлық 108 коэфиициенттер 60-тан 47-ге дейінгі бүтін сандар (бір реттен). Кем-дегенде бір бағандағы барлық квадрат үшмүшелердің қосындысында түбір бар екенін дәлелдеңіз.
(
К. Кохась,
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. ${{p}^{2}}-pq-{{q}^{3}}=1$ теңдеуін жай сандар үшін шешіңіз
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $A{{A}_{1}}$ түзуі төртбұрыштың ауданын тең екіге бөлетіндей, дөңес $ABCD$ төртбұрышының периметрінде ${{A}_{1}}$ нүктесі алынды. Ұқсас жолмен ${{B}_{1}}$, ${{C}_{1}}$ және ${{D}_{1}}$ нүктелері анықталды. Төбелері ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{C}_{1}}$, ${{D}_{1}}$ болатын дөңес төртбұрыштың ауданы, $ABCD$ төртбұрышының ауданының төрттен бір бөлігінен артық екенін дәлелдеңіз.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)