қазақша
русскийМатематикадан 54-ші халықаралық олимпиада, 2013 жыл, Санта Марта
Есеп №1. Кез келген $k$ және $n$ натурал сандары үшін,
$1+\dfrac{{{2}^{k}}-1}{n}=\left( 1+\dfrac{1}{{{m}_{1}}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{{{m}_{2}}} \right)\ldots \left( 1+\dfrac{1}{{{m}_{k}}} \right)$
теңдігі орындалатындай ${{m}_{1}},{{m}_{2}},\ldots ,{{m}_{k}}$ натурал сандар (әртүрлі болуға міндетті емес) табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Егер жазықтықта 2013 нүкте қызыл мен 2014 нүкте көк болса, және осы 4027 нүктелер арасында кез келген үш нүкте бір түзудің бойында болмаса, онда осындай конфигурацияны Колумбиялық конфигурация деп атаймыз. Кейбір түзулерін салып жазықтық бірнеше аймақтарға бөлінеді. Келесі үш шарт орындалса, онда түзулердің орналыстыруы Колумбиялық конфигурациясы үшін жақсы болады:
1) конфигурацияның нүкте арқылы сызылған түзуі табылмайды;
2) әрбір аймақтың ішінде екі түстен нүктелер табылмайды.
Кез келген 4027 нүктелерден тұратын Колумбиялық конфигурациясы үшін $k$ түзулердің жақсы орналыстыруы міндетті табылатынын $k$-ның минималды мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)
1) конфигурацияның нүкте арқылы сызылған түзуі табылмайды;
2) әрбір аймақтың ішінде екі түстен нүктелер табылмайды.
Кез келген 4027 нүктелерден тұратын Колумбиялық конфигурациясы үшін $k$ түзулердің жақсы орналыстыруы міндетті табылатынын $k$-ның минималды мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $A$ төбесіне сәйкес іштейсырт сызылған шеңбер $BC$ кесіндісін ${{A}_{1}}$ нүктесінде жанайды. Дәл осылай, $B$ және $C$ төбелеріне сәйкес іштейсырт сызылған шеңберлер $CA$ кесіндісінде ${{B}_{1}}$ ал $AB$ кесіндісінде ${{C}_{1}}$ нүктелерді сәйкесінше белгілейік. ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбердің центрі $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбердің бойында жатса, онда $ABC$ тікбұрышты үшбұрыш болатын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $H$ ортоцентрі және $BC$ кесіндісінде $B$ мен $C$ арасындағы $W$ нүктесі берілген. $B$ және $C$ төбелерінің биіктіктердің табандары $M$ және $N$ деп сәйкесінше белгіленген. $BWN$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберді ${{\omega }_{1}}$ деп атайық, және $WX$ кесіндісі ${{\omega }_{1}}$-дің диаметрі болатын ${{\omega }_{1}}$ шеңбердің бойында жататын $X$ нүктесі алынған. Дәл осылай, $CWM$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберді ${{\omega }_{2}}$ деп атайық, және $WY$ кесіндісі ${{\omega }_{2}}$-нің диаметрі болатын ${{\omega }_{2}}$ шеңбердің бойында жататын $Y$ нүктесін алайық. $X$, $Y$ және $H$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. ${{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ — барлық оң рационал сандарының жиыны. Келесі үш шарты орындалатын $f:{{\mathbb{Q}}_{ > 0}}\to \mathbb{R}$ функциясын қарастырайық:
(i) барлық $x,y\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ үшін $f(x)f(y)\ge f(xy)$ теңсіздігі орындалады;
(ii) барлық $x,y\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ үшін $f(x+y)\ge f(x)+f(y)$ теңсіздігі орындалады;
(iii) кейбір $a > 1$ рационал саны үшін $f\left( a \right)=a$ екенін белгілі.
Барлық $x\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ үшін $f\left( x \right)=x$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
(i) барлық $x,y\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ үшін $f(x)f(y)\ge f(xy)$ теңсіздігі орындалады;
(ii) барлық $x,y\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ үшін $f(x+y)\ge f(x)+f(y)$ теңсіздігі орындалады;
(iii) кейбір $a > 1$ рационал саны үшін $f\left( a \right)=a$ екенін белгілі.
Барлық $x\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ үшін $f\left( x \right)=x$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $n\ge 3$ натурал саны болсын. Шеңберді тең доғаларға бөлетін $n+1$ нүкте шеңбердің бойында алынған. Барлық нүктелерді белгілеу үшін $1$, $2$, $\ldots $, $n$ сандардан әр сан тек бір рет пайдаланып барлық тәсілдерді қарастырайық; осындай екі тәсілден біреуі шеңбер айналып екіншісі шықса, олар бірдей деп санайды. Егер $a+d=b+c$ болатын $a < b < c < d$ кез келген нүктелердің белгілерге $a$ және $d$ белгілермен нүктелерді қосатын хордасы $b$ және $c$ белгілермен нүктелерді қосатын хордасымен қиылыспайтын болса, онда осындай белгілеуінің тәсілін әдемі деп атаймыз.
$M$ — барлық әдемі белгілеулерінің тәсілдердің саны болсын, ал $x+y\le n$ және ЕҮОБ$(x,y) = 1$ болатын барлық $(x,y)$ натурал сандарының реттелген жұптардың саны $N$ болсын. $M=N+1$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение
$M$ — барлық әдемі белгілеулерінің тәсілдердің саны болсын, ал $x+y\le n$ және ЕҮОБ$(x,y) = 1$ болатын барлық $(x,y)$ натурал сандарының реттелген жұптардың саны $N$ болсын. $M=N+1$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение