54-я Международная Математическая OлимпиадаКолумбия, Санта Марта, 2013 год

Пусть вневписанная окружность треугольника $ABC$, лежащая напротив вершины $A$, касается стороны $BC$ в точке ${{A}_{1}}$. Точки ${{B}_{1}}$ на стороне $CA$ и ${{C}_{1}}$ на стороне $AB$ определяются аналогичным образом с использованием вневписанных окружностей, лежащих напротив вершин $B$ и $C$, соответственно. Известно, что центр описанной окружности треугольника ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ лежит па описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Комментарий/решение

Возьмем $M,N,P$ как середины дуг $BC,CA,AB$ соответственно

Возьмем эксцентры

$$I_a,I_b,I_c$$

И такуя точку $M$ что $B_1C$ в $C_1B$ и точки $A,M,B_1,C_1$ лежат на одной окружности

Значит $M$ лежит на перпендикуляре к биссектрисе $B_1C_1$

Значит $A_1B_1C_1$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$

Значит они одни из точек $M, N, P$

Докажем, что $\angle A=90^{\circ}$ при $M$

Заметим что $MN$ является серединным перпендикуляром к $A_1C_1$ и $MP$ к $A_1B_1$

Т.к. $MN \parallel I_aI_b$, $A_1C_1 \perp I_aI_b$ и аналогично $A_1B_1 \perp I_aI_c$

$\angle B_1A_1C_1=180^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{\angle A}{2})$

$\angle B_1MC_1=180^{\circ} -\angle A=\angle B_1AC_1=\angle A$

$\angle A=90^{\circ}$