54-я Международная Математическая Oлимпиада
Колумбия, Санта Марта, 2013 год

Задача №1.  Докажите, что для любой пары натуральных чисел $k$ и $n$ существуют $k$ (не обязательно различных) натуральных чисел ${{m}_{1}},{{m}_{2}},\ldots ,{{m}_{k}}$, удовлетворяющих равенству $$1+\dfrac{{{2}^{k}}-1}{n}=\left( 1+\dfrac{1}{{{m}_{1}}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{{{m}_{2}}} \right)\ldots \left( 1+\dfrac{1}{{{m}_{k}}} \right).$$
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Будем называть колумбийской конфигурацией точек набор из 4027 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, при этом 2013 из них покрашены в красный цвет, а остальные 2014 — в синий. Рассмотрим набор прямых, делящих плоскость на несколько областей. Назовем этот набор хорошим для данной колумбийской конфигурации точек, если выполнены следующие два условия:
а) никакая прямая не проходит ни через одну из точек конфигурации;
б) никакая область разбиения не содержит точек обоих цветов.
Найдите наименьшее $k$ такое, что для любой колумбийской конфигурации из 4027 точек найдется хороший набор из $k$ прямых.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть вневписанная окружность треугольника $ABC$, лежащая напротив вершины $A$, касается стороны $BC$ в точке ${{A}_{1}}$. Точки ${{B}_{1}}$ на стороне $CA$ и ${{C}_{1}}$ на стороне $AB$ определяются аналогичным образом с использованием вневписанных окружностей, лежащих напротив вершин $B$ и $C$, соответственно. Известно, что центр описанной окружности треугольника ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ лежит па описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $W$ — произвольная точка на отрезке $BC$ отличная от точек $B$ и $C$. Обозначим через $M$ и $N$ основания высот треугольника $ABC$, проведенных из вершин $B$ и $C$, соответственно. Пусть ${{\omega }_{1}}$ окружность, описанная около треугольника $BWN$, а $X$ — такая точка на ${{\omega }_{1}}$, что $WX$ — диаметр ${{\omega }_{1}}$. Аналогично, пусть ${{\omega }_{2}}$ — окружность, описанная около треугольника $CWM$, и $Y$ — такая точка на ${{\omega }_{2}}$, что $WY$ — диаметр ${{\omega }_{2}}$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $H$ лежат па одной прямой.
комментарий/решение(3)

---

Задача №5.  Обозначим через ${{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ множество всех положительных рациональных чисел. Пусть $f:{{\mathbb{Q}}_{ > 0}}\to \mathbb{R}$ функция, удовлетворяющая следующим трем условиям:
(i) для всех $x,y\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ выполнено неравенство $f(x)f(y)\ge f(xy)$;
(ii) для всех $x,y\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$ выполнено неравенство $f(x+y)\ge f(x)+f(y)$;
(iii) существует рациональное число $a > 1$ такое, что $f\left( a \right)=a$.
Докажите, что $f\left( x \right)=x$ для всех $x\in {{\mathbb{Q}}_{ > 0}}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Пусть $n\ge 3$ — целое число. Рассмотрим окружность и $n+1$ точек на ней, разбивающих её па равные дуги. Рассмотрим все способы пометить эти точки числами $1$, $2$, $\ldots $, $n$так, что каждое число использовано ровно один раз. Два способа, отличающихся поворотом, считаются одинаковыми. Способ пометки называется красивым, если для любых четырех меток $a < b < c < d$ таких, что $a+d=b+c$, хорда, соединяющая точки с метками $a$ и $d$, не пересекает хорду, соединяющую точки с метками $b$ и $c$.
Пусть $M$ — количество красивых способов пометки. Пусть $N$ — количество упорядоченных пар $\left( x,y \right)$ натуральных чисел, удовлетворяющих условиям $x+y\le n$ и НОД$\left( x,y \right)=1$. Докажите, что $M=N+1$.
комментарий/решение

---