Математикадан 42-ші халықаралық олимпиада, 2001 жыл, Вашингтон

Есеп №1. $O$ нүктесі сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі болсын. $A$ нүктесінен $BC$ қабырғасына түсірілген биіктік табаны $P$ нүктесі. $\angle BCA\ge \angle ABC+30{}^\circ $ екені белгілі. $\angle CAB+\angle COP < 90{}^\circ $ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

---

Есеп №2. Кез келген оң $a$, $b$ және $c$ сандары үшін $\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(6)

---

Есеп №3. Математикалық олимпиадаға 21 ұл бала және 21 қыз бала қатысты. Мыналар белгілі:
— әрбірі алтыдан көп емес есеп шығарды;
— әрбір ұл мен қыз үшін екеуі де шығарған кем дегенде бір есеп табылады;
Кем дегенде 3 ұл мен 3 қыз бала шығарған есеп табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $n$ — тақ сан, $n > 1$ және ${{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,{{k}_{n}}$ — берілген бүтін сандар болсын. $1,2,\ldots ,n$ сандарының әрбір $a=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ болатын $n!$ орын ауыстырулары үшін $S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{k}_{i}}}{{a}_{i}}$ есептейміз. $S\left( b \right)-S\left( c \right)$ саны $n!$--ге бөлінетіндей әр түрлі $b$ және $c$ орын ауыстырулары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышында $BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын $P$ нүктесінде қияды, ал $ABC$ бұрышының биссектрисасы $CA$ қабырғасын $Q$ нүктесінде қияды. $\angle BAC=60{}^\circ $ және $AB+BP=AQ+QB$ екені белгілі. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарының мәндері қандай болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. $a > b > c > d$ орындалатындай $a,b,c,d$ бүтін сандары болсын. $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$ деп тұжырымдайық. $ab+cd$ саны жай сан емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

---