Математикадан 42-ші халықаралық олимпиада, 2001 жыл, Вашингтон

Есеп №1.

$O$ нүктесі сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі болсын.

$A$ нүктесінен

$BC$ қабырғасына түсірілген биіктік табаны

$P$ нүктесі.

$\angle BCA\ge \angle ABC+30{}^\circ$ екені белгілі.

$\angle CAB+\angle COP < 90{}^\circ$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Кез келген оң

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін

$\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(15)

Есеп №3. Математикалық олимпиадаға 21 ұл бала және 21 қыз бала қатысты. Мыналар белгілі:
— әрбірі алтыдан көп емес есеп шығарды;
— әрбір ұл мен қыз үшін екеуі де шығарған кем дегенде бір есеп табылады;
Кем дегенде 3 ұл мен 3 қыз бала шығарған есеп табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$n$ — тақ сан,

$n > 1$ және

${{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,{{k}_{n}}$ — берілген бүтін сандар болсын.

$1,2,\ldots ,n$ сандарының әрбір

$a=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ болатын

$n!$ орын ауыстырулары үшін

$S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{k}_{i}}}{{a}_{i}}$ есептейміз.

$S\left( b \right)-S\left( c \right)$ саны

$n!$ --ге бөлінетіндей әр түрлі

$b$ және

$c$ орын ауыстырулары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышында

$BAC$ бұрышының биссектрисасы

$BC$ қабырғасын

$P$ нүктесінде қияды, ал

$ABC$ бұрышының биссектрисасы

$CA$ қабырғасын

$Q$ нүктесінде қияды.

$\angle BAC=60{}^\circ$ және

$AB+BP=AQ+QB$ екені белгілі.

$ABC$ үшбұрышының бұрыштарының мәндері қандай болуы мүмкін?
комментарий/решение(4)

Есеп №6.

$a > b > c > d$ орындалатындай

$a,b,c,d$ бүтін сандары болсын.

$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$ деп тұжырымдайық.

$ab+cd$ саны жай сан емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

результаты