42-я Международная Математическая OлимпиадаСоединённые Штаты Америки, Вашингтон, 2001 год

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$, а биссектриса угла $ABC$ пересекает сторону $CA$ в точке$Q$. Известно, что $\angle BAC=60{}^\circ $ и $AB+BP=AQ+QB$. Чему могут равняться величины углов треугольника $ABC$?

Комментарий/решение

Рассмотрим равносторонний треугольник $ACD$, пусть $CB,CT$ где $B,T \in AD$ такие что $\angle ACT = \angle BCT = \angle BCD = 20^{\circ}$ если $BQ, AP$ биссектрисы $ABC$ , тогда если $I$ - инцентр $ABC$ получается $BI = BP$ и $QB=QC$ так же $CI=DI$ так как $AI$ биссектриса, откуда $ADI = 20^{\circ}$ и так как $\angle DBQ = 140^{\circ}$ значит $BD=BI$ тогда $AB+BP = AB+BI = AB+BD = AD$ и $AQ+QB = AQ+QC = AC$ или $AB+BP = AQ+QB$ значит $\angle ABC = 80^{\circ}$