42-я Международная Математическая Oлимпиада
Соединённые Штаты Америки, Вашингтон, 2001 год

Задача №1.  Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. Точка $P$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$. Известно, что $\angle BCA\ge \angle ABC+30{}^\circ $. Докажите, что $\angle CAB+\angle COP < 90{}^\circ $.
комментарий/решение(4)

---

Задача №2.  Докажите, что $\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$ для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$.
комментарий/решение(6)

---

Задача №3.  В математической олимпиаде приняли участие 21 мальчик и 21 девочка. Известно, что:
— каждый из них решил не более шести задач;
— для каждого мальчика и каждой девочки найдется по крайней мере одна задача, которая была решена ими обоими.
Докажите, что найдется задача, которую решили хотя бы 3 мальчика и 3 девочки.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть $n$ — нечетное число, $n > 1$, и ${{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,{{k}_{n}}$ — данные целые числа. Для каждой из $n!$ перестановок $a=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ чисел $1,2,\ldots ,n$ положим $S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{k}_{i}}}{{a}_{i}}$. Докажите, что найдутся такие различные перестановки $b$ и $c$, что $S\left( b \right)-S\left( c \right)$ делится на $n!$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$, а биссектриса угла $ABC$ пересекает сторону $CA$ в точке$Q$. Известно, что $\angle BAC=60{}^\circ $ и $AB+BP=AQ+QB$. Чему могут равняться величины углов треугольника $ABC$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Пусть $a,b,c,d$ — такие целые числа, что $a > b > c > d$. Предположим, что $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).$ Докажите, что число $ab+cd$ не является простым.
комментарий/решение(4)

---