42-я Международная Математическая OлимпиадаСоединённые Штаты Америки, Вашингтон, 2001 год

Докажите, что $\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$ для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$.

Комментарий/решение

$$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ac}}\geq 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+8\frac{abc}{t}}}\Rightarrow$$

Неравенство Иенсена: $$f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f(\frac{a+b+c}{3}) \geq 3$$

Из $9a^2+9b^2+9c^2\geqslant a^2+b^2+c^2+8ab+8bc+8ac$ не следует $\left\{ \begin{array}{r} 9a^2\geqslant a^2+8bc,\\ 9b^2\geqslant b^2+8ac, \\ 9c^2\geqslant c^2+8ab.\end{array} \right.$

В этом можно убедиться, положив $a=3, \; b=2, \; c=1$.

По неравенству Гёлдера ${\bigg{(}\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\bigg{)}^2\bigg{(}a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)\bigg{)}\ge(a+b+c)^3}$

Заметим, что

$\small{(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3+b^3+c^3+24abc=}$

$\small{=a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)},$ так как $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

Откуда $$\bigg{(}\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\bigg{)}^2\ge 1$$

$$\iff$$ $$\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$$

То что $$\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \right)^2 \left(a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab) \right) \geq (a+b+c)^3$$ не следует $$\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \right)^2 \geq 1$$ так как $$\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \right)^2(a+b+c)^3 \geq \left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \right)^2\left(a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab) \right) \geq (a+b+c)^3$$ это уже условия задачи

Решение сверху верное же. Не пойму к чему ты придрался

Ты сказал, что оно так не следует и написал доказательство почему оно следует...

А вообще в решении же подробно расписано почему это верно.

Он же доказал что $a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)=a^3+b^3+c^3+24abc \leq a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)^3$

Значить $(a+b+c)^3 \geq a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)$

Значить мы не можем сказать

$(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}})^2 \geq 1$

То что нужно доказать выразим как $A \geq 1$

То что ты написал после "Значить" выразим как $B \geq C$ (мне лень печатать)

Тогда $A^2C \geq B \geq C \Rightarrow A^2C \geq C \Rightarrow A \geq 1$

Для начала докажем следущее неравенство;

$($a^4/3$+$b^4/3$+$c^4/3$)^2$$\geq$$a^2/3($a^2+$8bc$,открыв скобки и сократив $a^8/3$ и сделав AM GM для восьми получим что это верно.Тогда если мы увеличим знаминатель число станет меньше или такое же если мы докажем для этого числа то это будет верно.тогда умножем числитель и знаминатель на $a^1/3$,тогда знаминатель заменем на сумму $a^4/3$+… , тогда сделаем так для всех и получим одинаковый знаминатель и числитель что равно 1

Можете написать свое решения на латехе, просто очень трудно понять вашу речь без какой либо вычеслений.

$$\sum \sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+8bc}}\geq \sum \dfrac{2}{\frac{\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{bc}}{\sqrt[3]{a^2}}+\frac{\sqrt[3]{a^4}-2\sqrt[3]{a^2bc}+4\sqrt[3]{b^2c^2}}{\sqrt[3]{a^4}}}$$

$$\sum \dfrac{2}{\frac{2\sqrt[3]{a^4}+4\sqrt[3]{b^2c^2}}{\sqrt[3]{a^4}}} = \sum \dfrac{2\sqrt[3]{a^4}}{2\sqrt[3]{a^4}+4\sqrt[3]{b^2c^2}}$$

$$\sum \dfrac{2\sqrt[3]{a^4}}{2\sqrt[3]{a^4}+4\sqrt[3]{b^2c^2}}\geq \sum \dfrac{\sqrt[3]{a^4}}{\sqrt[3]{a^4}+\sqrt[3]{b^4}+\sqrt[3]{c^4}}=1$$

$$({ \color{red} ! }) ⠀⠀\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}=\dfrac{a^{\tfrac{3}{2}}}{(a^3+8abc)^{\tfrac{3}{2}-1}}+\dfrac{b^\tfrac{3}{2}}{(b^3+8abc)^{\tfrac{3}{2}-1}}+\dfrac{c^\tfrac{3}{2}}{(c^3+8abc)^{\tfrac{3}{2}-1}}\ge 1$$ Используем обобщенную лемму $T$ит$y$. Тогда: $$({ \color{red} ! }) ⠀\dfrac{a^{\tfrac{3}{2}}}{(a^3+8abc)^{\tfrac{3}{2}-1}}+\dfrac{b^\tfrac{3}{2}}{(b^3+8abc)^{\tfrac{3}{2}-1}}+\dfrac{c^\tfrac{3}{2}}{(c^3+8abc)^{\tfrac{3}{2}-1}}\ge \Bigg(\dfrac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc} \Bigg)^\tfrac{1}{2}\ge1$$ $$({ \color{red} ! }) ⠀(a+b+c)^3 =a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3+b^3+c^3+24abc$$ $$3(a+b)(b+c)(c+a)\ge3(2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})=24abc ⠀⠀\blacksquare$$

$good boy$

$\dfrac{4}{2} = 2$

(!) $2 = 2$

Але о чем ты? Что значит $goodboy$?

$\mathit{көтінеㅤкіріпㅤжатырма}$