42-я Международная Математическая OлимпиадаСоединённые Штаты Америки, Вашингтон, 2001 год

Докажите, что $\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$ для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$.

Комментарий/решение

$$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ac}}\geq 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+8\frac{abc}{t}}}\Rightarrow$$

Неравенство Иенсена: $$ f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f(\frac{a+b+c}{3}) \geq 3$$

Из $9a^2+9b^2+9c^2\geqslant a^2+b^2+c^2+8ab+8bc+8ac$ не следует $\left\{ \begin{array}{r} 9a^2\geqslant a^2+8bc,\\ 9b^2\geqslant b^2+8ac, \\ 9c^2\geqslant c^2+8ab.\end{array} \right.$

В этом можно убедиться, положив $a=3, \; b=2, \; c=1$.

По неравенству Гёлдера ${\bigg{(}\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\bigg{)}^2\bigg{(}a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)\bigg{)}\ge(a+b+c)^3}$

Заметим, что

$\small{(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3+b^3+c^3+24abc=}$

$\small{=a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)},$ так как $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

Откуда $$\bigg{(}\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\bigg{)}^2\ge 1$$

$$\iff$$ $$\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{b}^{2}}+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{c}^{2}}+8ab}}\ge 1$$

Для начала докажем следущее неравенство;

$($a^4/3$+$b^4/3$+$c^4/3$)^2$$\geq$$a^2/3($a^2+$8bc$,открыв скобки и сократив $a^8/3$ и сделав AM GM для восьми получим что это верно.Тогда если мы увеличим знаминатель число станет меньше или такое же если мы докажем для этого числа то это будет верно.тогда умножем числитель и знаминатель на $a^1/3$,тогда знаминатель заменем на сумму $a^4/3$+… , тогда сделаем так для всех и получим одинаковый знаминатель и числитель что равно 1

Можете написать свое решения на латехе, просто очень трудно понять вашу речь без какой либо вычеслений.

\[\sum \sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+8bc}}\geq \sum \dfrac{2}{\frac{\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{bc}}{\sqrt[3]{a^2}}+\frac{\sqrt[3]{a^4}-2\sqrt[3]{a^2bc}+4\sqrt[3]{b^2c^2}}{\sqrt[3]{a^4}}} \]

\[ \sum \dfrac{2}{\frac{2\sqrt[3]{a^4}+4\sqrt[3]{b^2c^2}}{\sqrt[3]{a^4}}} = \sum \dfrac{2\sqrt[3]{a^4}}{2\sqrt[3]{a^4}+4\sqrt[3]{b^2c^2}}\]

\[ \sum \dfrac{2\sqrt[3]{a^4}}{2\sqrt[3]{a^4}+4\sqrt[3]{b^2c^2}}\geq \sum \dfrac{\sqrt[3]{a^4}}{\sqrt[3]{a^4}+\sqrt[3]{b^4}+\sqrt[3]{c^4}}=1\]