Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 42-ші халықаралық олимпиада, 2001 жыл, Вашингтон


ABC үшбұрышында BAC бұрышының биссектрисасы BC қабырғасын P нүктесінде қияды, ал ABC бұрышының биссектрисасы CA қабырғасын Q нүктесінде қияды. BAC=60 және AB+BP=AQ+QB екені белгілі. ABC үшбұрышының бұрыштарының мәндері қандай болуы мүмкін?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2 года 4 месяца назад #

Рассмотрим равносторонний треугольник ACD, пусть CB,CT где B,TAD такие что ACT=BCT=BCD=20 если BQ,AP биссектрисы ABC , тогда если I - инцентр ABC получается BI=BP и QB=QC так же CI=DI так как AI биссектриса, откуда ADI=20 и так как DBQ=140 значит BD=BI тогда AB+BP=AB+BI=AB+BD=AD и AQ+QB=AQ+QC=AC или AB+BP=AQ+QB значит ABC=80

  4
2 месяца 3 дней назад #

Можете объяснить, почему BI=BP?. Просто если это так, то AB+BP=AQ+QB не нужно простт счет углов.

пред. Правка 2   3
2 месяца 3 дней назад #

AB+BP=AQ+QB

пред. Правка 2   0
6 часов 6 минут назад #

пред. Правка 2   0
2 часов 2 минут назад #

D — точка такая, что BD=BP, а E — точка такая, что AD=AE. Пусть EB пересекает AP в точке P BDP=BPD=QBC=QBA=α, AD=AB+BP=AE=AQ+QE=AQ+QBQB=QEQEB=QBE=60α2EBP=3α2; PED=EDP=α2PDP=603α2BDPP вписанysq. BPD=BPD. ABP+BAP+APB=90+3α2=180α=60 PPB+BPA=180BPA=60; BPA+ABP=180 P=P.

пред. Правка 2   0
2 часов 2 минут назад #

QB=QE=QCABQ+QBC+BCA=3ABC2=120ABC=80