Математикадан жасөспірімдер арасындағы 18-ші Балкан олимпиадасы 2014 жыл, Охрид, Македония

Есеп №1.

$3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$ болатындай барлық әр түрлі

$p$ ,

$q$ ,

$r$ жай сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$S$ — сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының ауданы болсын.

$CD \perp AB$ (

$D \in AB$ ),

$DM \perp AC$ (

$M \in AC$ ) және

$DN \perp BC$ (

$N \in BC$ ) болсын.

$H_1$ және

$H_2$ нүктелері сәйкесінше

$MNC$ және

$MND$ үшбұрыштарының қиылысу нүктелері болсын.

$AH_1BH_2$ төртбұрышының ауданын

$S$ арқылы өрнектеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$abc=1$ болатындай

$a$ ,

$b$ ,

$c$ оң сандары берілген. Теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\dfrac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\dfrac{1}{a}\right)^{2}\geq 3(a+b+c+1).$
комментарий/решение(6)

Есеп №4. Берілген

$n$ натурал саны үшін

$A$ және

$B$ екі ойыншы келесі ойынды ойнайды:

$s$ тастан тұратын үйінді берілген. Ойыншылар кезекпен жүріс жасайды,

$A$ ойыншысы бастайды. Әрбір ойыншы бір тас ала алады немесе нөлге тең емес не жай сан болатын тас не

$n$ -ға еселік тас ала алады. Ең соңғы тасты алған ойынша жеңімпаз болып есептелінеді. Дұрыс ойналған жағдайда

$A$ ойыншысы ұта алмайтындай

$s$ санын табыңыздар.
комментарий/решение

результаты