Processing math: 55%

18-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2014 год


Найдите все различные простые числа p, q, r такие, что 3p45q44r2=26.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  8
6 года 1 месяца назад #

Ответ:p=5;q=3;r=19.

Так как квадрат любого натурального числа при делении на 5 дают остаток 0,1,4. И четвёртая степень любого натурального числа при делении на 5 дают остаток 0,1; 3p4 при делении на 5 дают остаток 0,3. А 26+5q4+4r2 при делении на 5 дают остаток 0,1,2. Тогда 3p4 делится на 5, тогда p=5. Тогда осталось решить уравнение 1849=5q4+4r2. Если q5, тогда 5q4+4r2>5q455>1849. Так как q не может быть четным, q=3 и 4r2=1444 или r=19.

пред. Правка 3   8
2 года 1 месяца назад #

по Б.О.О пусть p,q,r>3 тогда 3p^4\equiv 0\pmod{3}-5q^4\equiv 2\pmod{3}-4r^2\equiv 1\pmod{3} и в итоге должно получиться число которое делиться на 3 поэтому одно из них или два =3 если два то в итоге не получится 26 если r то не получится по мод 3 так что q=3 ,3p^4-405-4r^2=26,3p^4-4r^2=431,3p^4\equiv 1,0 \pmod{5} - 4r^2\equiv 0,1,4= 431\equiv 1 \pmod{5} легко заметить p=5 тогда и тогда нетяжело подобрать что r=19