18-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2014 год

Задача №1.  Найдите все различные простые числа $p$, $q$, $r$ такие, что $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Пусть $S$ — площадь остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) и $DN \perp BC$ ($N \in BC$). Обозначим через $H_1$ и $H_2$ точки пересечения высот треугольников $MNC$ и $MND$ соответственно. Выразите площадь четырёхугольника $AH_1BH_2$ через $S$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Даны положительные числа $a$, $b$, $c$ такие, что $abc=1$. Докажите, неравенство $$ \left(a+\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\frac{1}{a}\right)^{2}\geq 3(a+b+c+1). $$
комментарий/решение(5)

---

Задача №4.  Для данного натурального числа $n$ двое игроков $A$ и $B$ играют в следующую игру: дана куча из $s$ камней. Игроки по очереди делают ход, игру начинает $A$. Каждый игрок может взять один камень или такое количество камней, отличное от нуля, которое является либо простым числом, либо кратно числу $n$. Победителем считается тот, кто возьмет последний камень. Найдите количество значений $s$, для которых игрок $A$ не сможет выиграть при правильной игре обоих игроков.
комментарий/решение

---