18-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Охрид, Македония, 2014 год

Пусть $S$ — площадь остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) и $DN \perp BC$ ($N \in BC$). Обозначим через $H_1$ и $H_2$ точки пересечения высот треугольников $MNC$ и $MND$ соответственно. Выразите площадь четырёхугольника $AH_1BH_2$ через $S$.

Комментарий/решение

Из условия следует $DN || MH_{1}, \ DM || NH_{1}, \ H_{2}D || CH_{1}$ откуда треугольники $H_{2}MN, CNM$ равны по трем высотам, тогда $D$ точка пересечения высот треугольника $MH_{2}N$(из условия) откуда $CD=H_{2}H_{1}$ и $CD || H_{2}H_{1}$ значит $H_{2}H_{1} \perp AB$ откуда $S_{AH_{2}BH_{2}} = \dfrac{AB \cdot H_{2}H_{1}}{2} = \dfrac{AB \cdot CD}{2} = S$