Математикадан жасөспірімдер арасындағы 17-ші Балкан олимпиадасы 2013 жыл, Анталья, Турция

Есеп №1.

$\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ және

$\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ сандары екеуі де натурал болатындай барлық реттелген

$(a,b)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$AB < AC$ болатындай сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы берілген және

$O$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберінің центрі болсын.

$D$ нүктесі

$\angle BAD = \angle CAO$ болатындай

$BC$ қабырғасынан алынған.

$AD$ түзуі екінші рет

$\omega$ шеңберін

$E$ нүктесінде қияды.

$M$ ,

$N$ ,

$P$ нүктелері сәйкесінше

$BE$ ,

$OD$ және

$AC$ кесінділерінің орталары болсын.

$M$ ,

$N$ және

$P$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

${ab\geq 1}$ болатындай барлық оң

$a$ және

$b$ нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16.$
комментарий/решение(4)

Есеп №4.

$n$ натурал саны берілген. Екі ойыншы Алиса және Боб келесі ойынды ойнайды:
—Алиса кез келген

$n$ сан жасырады, әр түрлі болуы міндетті емес;
—Алиса өзіндегі сандардан жұп-жұптан қосындыларын қағазға жазып Бобқа береді(қағазда

$\dfrac{n(n-1)}{2}$ қосынды жазылған, әр түрлі болуы міндетті емес);
— Егер қағаздағы Алиса жасырған сандарды Боб тапса, Боб ұтады.
Келесі жағдайлар үшін Боб ұтатынына сенімді болуы мүмкін бе?
a.

$n=5$
b.

$n=6$
c.

$n=8$
Өз жауабыңызды түсіндіріңіз.
[Мысалға, егер

$n = 4$ , Алиса

$1$ ,

$5$ ,

$7$ ,

$9$ сандарын жасырса болады, қосындылары

$2$ ,

$4$ ,

$6$ ,

$10$ сандарын береді, бұл жағдайда Боб ұта алмайды. ]
комментарий/решение

результаты