17-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Анталья, Турция, 2013 год

Найдите все упорядоченные пары натуральных чисел $(a,b)$, для которых числа $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ и $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ оба являются натуральными.

Комментарий/решение

$$\frac{a^3b-1}{a+1},\frac{b^3a+1}{b-1}\in \mathbb{N}$$

$$1) \quad \frac{a^3b-1}{a+1}= \frac{a^3b+b-b-1}{a+1}=ba^2-ba+b-\frac{b+1 }{a+1}\in \mathbb{N}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{b+1 }{a+1}\in \mathbb{N}\Rightarrow(b+1) \vdots (a+1)$$

$$2) \quad \frac{b^3a+1}{b-1}=\frac{b^3a-a+a+1}{b-1}=ab^2+ab+a+\frac{a+1}{b-1}\in \mathbb{N}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{a+1 }{b-1}\in \mathbb{N}\Rightarrow(a+1) \vdots (b-1)$$

$$3) \quad (b+1) \vdots (a+1), \quad (a+1) \vdots (b-1) \Rightarrow (b+1) \vdots (b-1)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{b+1}{b-1}\in \mathbb{N}\Rightarrow\frac{b+1}{b-1}=1+\frac{2}{b-1}\Rightarrow\frac{2}{b-1}\in \mathbb{N}\Rightarrow b=2,3$$

$$b=2 \Rightarrow 3 \vdots (a+1)\Rightarrow a=2$$

$$b=3 \Rightarrow 4\vdots (a+1)\Rightarrow a=1,3$$

$$(a,b)=\left\{(2,2),(1,3),(3,3)\right\}$$