17-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Анталья, Турция, 2013 год

Задача №1.  Найдите все упорядоченные пары натуральных чисел $(a,b)$, для которых числа $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ и $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ оба являются натуральными.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB < AC$ и пусть $O$ — центр описанной окружности $\omega$ треугольника $ABC$. $D$ — точка на стороне $BC$ такая, что $\angle BAD = \angle CAO$. Прямая $AD$ вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $E$. Пусть $M$, $N$, $P$ — середины отрезков $BE$, $OD$ и $AC$ соответственно. Докажите, что точки $M$, $N$ и $P$ — лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Докажите неравенство $\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16,$ для всех положительных действительных чисел $a$ и $b$ таких, что ${ab\geq 1}$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №4.  Дано натуральное число $n$. Два игрока Алиса и Боб играют в следующую игру:
— Алиса загадывает $n$ произвольных чисел, не обязательно различных;
— Алиса записывает все по парные суммы загаданных чисел на лист бумаги и отдает этот лист Бобу (на листе бумаги будет записано $\frac{n(n-1)}{2}$ таких сумм, необязательно различных);
— Боб выигрывает, если он правильно может определить в точности те числа, которые загадала Алиса.
Может ли Боб быть уверен, что выиграет для следующих случаев?
a. $n=5$
b. $n=6$
c. $n=8$
Обоснуйте свой ответ.
[Например, если $n = 4$, Алиса может загадать числа $1$, $5$, $7$, $9$, которые дают такие же попарные суммы, как и числа $2$, $4$, $6$, $10$, и в этом случае Боб не может выиграть.]
комментарий/решение

---