17-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Анталья, Турция, 2013 год

Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB < AC$ и пусть $O$ — центр описанной окружности $\omega$ треугольника $ABC$. $D$ — точка на стороне $BC$ такая, что $\angle BAD = \angle CAO$. Прямая $AD$ вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $E$. Пусть $M$, $N$, $P$ — середины отрезков $BE$, $OD$ и $AC$ соответственно. Докажите, что точки $M$, $N$ и $P$ — лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

По счету углов легко получаем что $AD$ высота и то что $MD \bot AC$ и $OP \bot AC$ отсюда $MD//OP$ аналогично $DP//MO$ следовательно $MDPO$-параллелограмм значит $MP$ проходит через середину $OD$.