12-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Влёра, Албания, 2008 год

Задача №1.  Определите все четверки действительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$, для которых выполнена система равенств $$\left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.$$
комментарий/решение(8)

---

Задача №2.  Вершины $A$ и $B$ правильного треугольника $ABC$ лежат на окружности единичного радиуса $k$, а вершина $C$ — внутри $k$. Точка $D$, отличная от $B$, лежит на окружности $k$ так, что $AD=AB$. Прямая $DC$ пересекает $k$ во второй раз в точке $E$. Найдите длину отрезка $CE$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Найдите все тройки простых чисел $p,q,r$, для которых верно равенство $\dfrac{p}{q}-\dfrac{4}{r+1}=1$
комментарий/решение(3)

---

Задача №4.  Таблица размера $4\times 4$ разделена на $16$ единичных клеток белого цвета. Две клетки считаются соседними, если они имеют общую сторону. Ход состоит в выборе клетки и перекрашивании соседей с белого на черный или с черного на белый. Ровно через $n$ ходов все $16$ былых клеток стали черными. Найдите все возможные значения $n$.
комментарий/решение(1)

---