қазақша
русскийМатематикадан жасөспірімдер арасындағы 12-ші Балкан олимпиадасы 2008 жыл, Влёра, Албания
Есеп №1. Төмендегідей теңдеулер жүйесі орындалатындай барлық $a$, $b$, $c$, $d$ нақты сандар төрттіктерін табыңыздар:
\[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Есеп №2. $ ABC$ дұрыс үшбұрышының $ A$ және $ B$ төбелері бірлік радиусты $k$ шеңберінде жатады, ал $ C$ төбесі $ k$ шеңберінің ішінде жатады. $ B$-дан өзге $ D$ нүктесі $ AD=AB$ болатындай $ k$ шеңберінде жатады. $ DC$ түзуі $ k$ шеңберін екінші рет $ E$ нүктесінде қияды. $ CE$ кесіндісінің ұзындығын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Келесі теңдік орындалатындай барлық $ p,q,r$ жай сандар үштігін табыңыздар: $ \dfrac{p}{q}-\dfrac{4}{r+1}=1.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. $ 4\times 4$ өлшемді кестесі ақ түсті $16$ бірлік шаршыларға бөлінген. Егер екі тордың ортақ қабырғасы болса, онда оларды көрші деп атайды. Бір торды таңдау және оның көршілерін ақ түстен қара түске немесе қара түстен ақ түске бояу жүріс болып есептеледі. Дәл $n$ жүрістен кейін барлық $16$ тор қара болып шықты. $n$ санының барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)