Processing math: 74%

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 12-ші Балкан олимпиадасы 2008 жыл, Влёра, Албания


Келесі теңдік орындалатындай барлық p,q,r жай сандар үштігін табыңыздар: pq4r+1=1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
6 года 8 месяца назад #

Ответ :p=7;q=3;r=2

Преобразуем выражение p(r+1)4qq(r+1)=1 Раскроем по пропорции и получим p(r+1)=q(r+5) Учитывая, что искомые числа простые, имеем p=r+5;q=r+1 Если r нечетное, то p,q составные. Отсюда r=2- так как 2 это единственное четное простое число

пред. Правка 2   4
4 года 9 месяца назад #

Равенства r+5=p , r+1=q не верны. Например p=3,q=2,r=7

  6
4 года 9 месяца назад #

Ответ:(p,q,r)=(3,2,7),(5,3,5),(7,3,2)

Из условия получаем, что p(r+1)=q(r+5)

Заметим, что если p=q, то r+1=r+5.

Далее pq, значит qr+1qk=r+1pk=r+5

Если r=3, то p,q8p=q=2, что не неверно,

Отметим, что k(pq)=pkqk=(r+5)(r+1)=4

Откуда получаем несколько случаев

1) k=4,pq=1

2) k=2,pq=2

3) k=1,pq=4

В 1) случае легко следует p=3,q=2r=7

Во 2) случае получаем, что 2p=r+5,2q=r+1

Если r\equiv 2 \pmod 3, то 2q=r+1\equiv 0\pmod 3\implies q=3\implies p=5\implies r=5

Если r\equiv 1 \pmod 3, то 2p=r+5\equiv 0\pmod 3\implies p=3\implies q=1, что противоречит тому, что q - простое.

В 3) случае получаем, что p=r+5, q=r+1

Если r\ne 2, то 2\mid r+1=q\implies q=2\implies r=1, что неверно.

Если r=2\implies q=3\implies p=7.