Математикадан жасөспірімдер арасындағы 12-ші Балкан олимпиадасы 2008 жыл, Влёра, Албания
Комментарий/решение:
Ответ :p=7;q=3;r=2
Преобразуем выражение p(r+1)−4qq(r+1)=1 Раскроем по пропорции и получим p(r+1)=q(r+5) Учитывая, что искомые числа простые, имеем p=r+5;q=r+1 Если r нечетное, то p,q составные. Отсюда r=2- так как 2 это единственное четное простое число
Ответ:(p,q,r)=(3,2,7),(5,3,5),(7,3,2)
Из условия получаем, что p(r+1)=q(r+5)
Заметим, что если p=q, то r+1=r+5.
Далее p≠q, значит q∣r+1⟹qk=r+1⟹pk=r+5
Если r=3, то p,q∣8⟹p=q=2, что не неверно,
Отметим, что k(p−q)=pk−qk=(r+5)−(r+1)=4
Откуда получаем несколько случаев
1) k=4,p−q=1
2) k=2,p−q=2
3) k=1,p−q=4
В 1) случае легко следует p=3,q=2⟹r=7
Во 2) случае получаем, что 2p=r+5,2q=r+1
Если r\equiv 2 \pmod 3, то 2q=r+1\equiv 0\pmod 3\implies q=3\implies p=5\implies r=5
Если r\equiv 1 \pmod 3, то 2p=r+5\equiv 0\pmod 3\implies p=3\implies q=1, что противоречит тому, что q - простое.
В 3) случае получаем, что p=r+5, q=r+1
Если r\ne 2, то 2\mid r+1=q\implies q=2\implies r=1, что неверно.
Если r=2\implies q=3\implies p=7.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.