12-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Влёра, Албания, 2008 год

Найдите все тройки простых чисел $p,q,r$, для которых верно равенство $\dfrac{p}{q}-\dfrac{4}{r+1}=1$

Комментарий/решение

Ответ :$p=7;q=3;r=2$

Преобразуем выражение $$\dfrac {p (r+1)-4q}{q (r+1)}=1$$ Раскроем по пропорции и получим $p (r+1)= q (r+5)$ Учитывая, что искомые числа простые, имеем $p=r+5;q=r+1$ Если $r$ нечетное, то $p,q$ составные. Отсюда $r=2$- так как 2 это единственное четное простое число

Равенства $r+5=p$ , $r+1=q$ не верны. Например $p=3,q=2,r=7$

Ответ:$(p,q,r)=(3,2,7),(5,3,5),(7,3,2)$

Из условия получаем, что $$p(r+1)=q(r+5)$$

Заметим, что если $p=q$, то $r+1=r+5$.

Далее $p\ne q$, значит $q\mid r+1\implies qk=r+1\implies pk=r+5$

Если $r=3$, то $p,q\mid 8\implies p=q=2$, что не неверно,

Отметим, что $k(p-q)=pk-qk=(r+5)-(r+1)=4$

Откуда получаем несколько случаев

1) $k=4, p-q=1$

2) $k=2, p-q=2$

3) $k=1, p-q=4$

В 1) случае легко следует $p=3 , q=2\implies r=7$

Во 2) случае получаем, что $2p=r+5 , 2q=r+1$

Если $r\equiv 2 \pmod 3$, то $2q=r+1\equiv 0\pmod 3\implies q=3\implies p=5\implies r=5$

Если $r\equiv 1 \pmod 3$, то $2p=r+5\equiv 0\pmod 3\implies p=3\implies q=1$, что противоречит тому, что $q$ - простое.

В 3) случае получаем, что $p=r+5, q=r+1$

Если $r\ne 2$, то $2\mid r+1=q\implies q=2\implies r=1$, что неверно.

Если $r=2\implies q=3\implies p=7$.