Математикадан жасөспірімдер арасындағы 12-ші Балкан олимпиадасы 2008 жыл, Влёра, Албания

Келесі теңдік орындалатындай барлық $ p,q,r$ жай сандар үштігін табыңыздар: $ \dfrac{p}{q}-\dfrac{4}{r+1}=1.$

Комментарий/решение

Ответ :$p=7;q=3;r=2$

Преобразуем выражение $$\dfrac {p (r+1)-4q}{q (r+1)}=1$$ Раскроем по пропорции и получим $p (r+1)= q (r+5) $ Учитывая, что искомые числа простые, имеем $p=r+5;q=r+1$ Если $r $ нечетное, то $p,q $ составные. Отсюда $r=2$- так как 2 это единственное четное простое число

Равенства $r+5=p$ , $r+1=q$ не верны. Например $p=3,q=2,r=7$

Ответ:$(p,q,r)=(3,2,7),(5,3,5),(7,3,2)$

Из условия получаем, что $$p(r+1)=q(r+5)$$

Заметим, что если $p=q$, то $r+1=r+5$.

Далее $p\ne q$, значит $q\mid r+1\implies qk=r+1\implies pk=r+5$

Если $r=3$, то $p,q\mid 8\implies p=q=2$, что не неверно,

Отметим, что $k(p-q)=pk-qk=(r+5)-(r+1)=4$

Откуда получаем несколько случаев

1) $k=4, p-q=1$

2) $k=2, p-q=2$

3) $k=1, p-q=4$

В 1) случае легко следует $p=3 , q=2\implies r=7 $

Во 2) случае получаем, что $2p=r+5 , 2q=r+1$

Если $r\equiv 2 \pmod 3$, то $2q=r+1\equiv 0\pmod 3\implies q=3\implies p=5\implies r=5$

Если $r\equiv 1 \pmod 3$, то $2p=r+5\equiv 0\pmod 3\implies p=3\implies q=1$, что противоречит тому, что $q$ - простое.

В 3) случае получаем, что $p=r+5, q=r+1$

Если $r\ne 2$, то $2\mid r+1=q\implies q=2\implies r=1$, что неверно.

Если $r=2\implies q=3\implies p=7$.

$ \frac{p}{q} = \frac{r+5}{r+1} $

$ \text{Числитель и знаменатель правой дроби можно сократить только на } 1;\ 2;\ 4 $

$ \text{Ведь } \gcd(r+5,\ r+1) = \gcd(4,\ r+1) = 1,\ 2,\ 4 $

$ \textbf{1) Пусть дробь несократима, тогда } p = r+5,\ q = r+1 $

$ \text{Если } r \text{ нечётно, тогда } p,\ q \text{ — чётные числа большие 2} $

$ \text{Значит } r = 2 $

$ \text{Первая пара } (p,\ q,\ r) :\ (7,\ 3,\ 2) $

$ \textbf{2) Пусть дробь сократима на 2} $

$ \text{Тогда } p = \frac{r+5}{2},\ q = \frac{r+1}{2} $

$ 2p = r+5,\ 2q = r+1 $

$ \text{При } r \equiv 0,\ 1 \pmod{3} \text{ нет решений} $

$ \text{При } r \equiv 2 \pmod{3} \text{ получаем пару } (5,\ 3,\ 5) $

$ \textbf{3) Пусть дробь сократима на 4} $

$ \text{Тогда } r = 4k+3 \text{ (пояснение: если дробь сократима на 4, тогда и числитель, и знаменатель делятся на 4;} $

$ \text{то есть } r+1 \text{ и } r+5 \text{ делятся на 4; откуда } r = 4k+3) $

$ \frac{p}{q} = \frac{4k+8}{4k+4} = \frac{k+2}{k+1} \text{ — несократимая дробь} $

$ p = k+2,\ q = k+1 $

$ p - q = 1 $

$ p = 3,\ q = 2 $

$ \text{Получаем пару } (3,\ 2,\ 7) $

$ \textbf{Ответ: } (p,\ q,\ r) :\ (7,\ 3,\ 2),\ (3,\ 2,\ 7),\ (5,\ 3,\ 5) $